Determine a função de transferência de um filtro FIR passa-baixa de 5 pontos com uma frequência de corte inferior de 2.000 Hz e uma frequência de amostragem de 8.000 Hz usando o método de amostragem de frequência.

Passo 1

O problema é projetar um filtro FIR de comprimento N=5 ( 5 coeficientes) que seja passa-baixa com frequência de corte f_c=2000,Hz e frequência de amostragem f_s=8000,Hz usando o método de amostragem de frequência. Vamos precisar:
1. Calcular a frequência de corte normalizada \frac{f_c}{f_s}.
2. Definir os valores amostrados de H[k] em \omega_k = \tfrac{2\pi k}{5} para k=0,\dots,4.
3. Aplicar a IDFT para obter h[n], garantindo realimentação (simetria hermitiana) para coeficientes reais.

Passo 2

A frequência de corte normalizada é
\frac{f_c}{f_s} = \frac{2000}{8000} = 0{,}25,
o que em radiano/amostra dá \omega_c = 2\pi\cdot0{,}25 = \tfrac{\pi}{2}\). No método de amostragem de frequência, escolhemos \[H[k] = \begin{cases} 1, & \omega_k \le \omega_c,\\\\ 0, & \omega_k > \omega_c, \end{cases}
onde \omega_k = \tfrac{2\pi k}{5}\]. Como \(\omega_0=0 e \omega_1=\tfrac{2\pi}{5}\approx72^\circ <90^\circ, colocamos
H[0]=1,\quad H[1]=1.
Para garantir coeficientes reais fazemos simetria hermitiana em torno de k=0, isto é H[4]=H[1]^*=1. Nos pontos acima de corte atribuímos
H[2]=0,\quad H[3]=H[2]^*=0.

Passo 3

O próximo passo é calcular a IDFT de comprimento 5:
h[n] = \frac{1}{5}\sum_{k=0}^{4} H[k]\,e^{j\frac{2\pi}{5}kn} = \frac{1}{5}\Bigl(1\cdot e^{j0} + 1\cdot e^{j\frac{2\pi}{5}n} + 1\cdot e^{j\frac{8\pi}{5}n}\Bigr),
pois só H[0],H[1],H[4] são diferentes de zero.

Passo 4

Use a identidade e^{j\theta}+e^{-j\theta}=2\cos\theta. Note que e^{j\frac{8\pi}{5}n}=e^{-j\frac{2\pi}{5}n}. Assim
h[n] = \frac{1}{5}\Bigl(1 + e^{j\frac{2\pi}{5}n} + e^{-j\frac{2\pi}{5}n}\Bigr) = \frac{1}{5}\Bigl(1 + 2\cos\!\bigl(\tfrac{2\pi}{5}n\bigr)\Bigr).
Calculando nos índices n=0,1,2,3,4 (e usando a simetria h[4]=h[0], h[3]=h[1]) dá
h[0]=\frac{3}{5}=0{,}6,\quad h[1]=\frac{1+2\cos\!\tfrac{2\pi}{5}}{5}\approx0{,}3236,\quad h[2]=\frac{1+2\cos\!\tfrac{4\pi}{5}}{5}\approx -0{,}1236.

Passo 5

Finalmente, a função de transferência em z é
H(z) = h[0] + h[1]\bigl(z^{-1}+z^{-4}\bigr) + h[2]\bigl(z^{-2}+z^{-3}\bigr).

Resposta

H(z) = 0{,}6 \;+\; 0{,}3236\,(z^{-1}+z^{-4}) \;-\;0{,}1236\,(z^{-2}+z^{-3}).

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