Dado o seguinte sistema FIR:
H(z)=0,25-0,5 z^{-1}+0,25 z^{-2}
Projete a rede de filtro usando cada um dos métodos descritos a seguir:
a) Forma transversal escrevendo a equação diferencial para implementação;
b) Forma de fase linear escrevendo a equação diferencial para implementação;

Passo 1

O enunciado pede para projetar a implementação de um filtro FIR com
H(z)=0,25 - 0,5\,z^{-1} + 0,25\,z^{-2}
usando
  1. a forma transversal (direct form) e
  2. a forma de fase linear (aproveitando a simetria dos coeficientes),
    sempre escrevendo a respectiva equação de diferenças para a implementação.

Passo 2

Para a forma transversal basta usar a definição direta de H(z). Como
Y(z)=H(z)\,X(z) =\bigl(0,25 - 0,5\,z^{-1} + 0,25\,z^{-2}\bigr)\,X(z),
no domínio do tempo obtemos a equação de diferenças
y[n] = 0{,}25\,x[n] \;-\;0{,}5\,x[n-1]\;+\;0{,}25\,x[n-2].

Passo 3

A rede em forma transversal é montada assim:
  • Uma linha de três retardos em série ( z^{-1}), de modo que fiquemos com as saídas x[n], x[n-1] e x[n-2].
  • Cada uma dessas saídas passa por um multiplicador com coeficientes 0,25, -0,5 e 0,25, respectivamente.
  • Os três resultados são então somados no adder para gerar y[n].

Passo 4

Na forma de fase linear exploramos a simetria dos coeficientes:
H(z)=0{,}25 + 0{,}25\,z^{-2} \;-\;0{,}5\,z^{-1} =0{,}25\,(1+z^{-2}) \;-\;0{,}5\,z^{-1}.
Daí a equação de diferenças fica mais econômica:
y[n] = 0{,}25\bigl(x[n]+x[n-2]\bigr)\;-\;0{,}5\,x[n-1].

Passo 5

A rede em forma de fase linear é montada assim:
  • Dois atrasos em série para obter x[n], x[n-1], x[n-2].
  • Soma de x[n] com x[n-2], cujo resultado vai a um multiplicador de ganho 0,25.
  • Paralelamente, x[n-1] vai a um multiplicador de ganho -0,5.
  • Finalmente soma-se as duas saídas de multiplicador para obter y[n].

Resposta

a) Forma transversal:
\boxed{y[n] = 0{,}25\,x[n]\;-\;0{,}5\,x[n-1]\;+\;0{,}25\,x[n-2].}
Implementação: linha de três retardos, três multiplicadores ( 0,25,-0,5,0,25) e um adder.
b) Forma de fase linear:
\boxed{y[n] = 0{,}25\bigl(x[n]+x[n-2]\bigr)\;-\;0{,}5\,x[n-1].}
Implementação: soma x[n]+x[n-2] com ganho 0,25, ramo de x[n-1] com ganho -0,5 e um adder final.

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