Dado
, prove que a função
é contínua em
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para provar que a função
é contínua em
, onde
é um número natural. Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade de funções e usar propriedades básicas de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função em
. Em termos matemáticos:
Passo 3
No nosso caso, a função é
. Queremos calcular
e ver se é igual a
.
Passo 4
Sabemos que as potências de
são funções polinomiais e que os limites de funções polinomiais podem ser calculados substituindo diretamente
por
, desde que não haja indeterminação.
Então,
Passo 5
Como o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
, ou seja,
, isso confirma que
é contínua em
.
Resposta
Portanto, comprovamos que a função
é contínua em
para todo
.