Dado n in N, prove que a função f(x)=x^n é contínua em x=a.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para provar que a função f(x) = x^n é contínua em x = a , onde n é um número natural. Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade de funções e usar propriedades básicas de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função f é contínua em x = a se o limite de f(x) quando x se aproxima de a é igual ao valor da função em a . Em termos matemáticos:
limx to a f(x) = f(a)

Passo 3

No nosso caso, a função é f(x) = x^n . Queremos calcular limx to a x^n e ver se é igual a a^n .

Passo 4

Sabemos que as potências de x são funções polinomiais e que os limites de funções polinomiais podem ser calculados substituindo diretamente x por a , desde que não haja indeterminação.
Então,
limx to a x^n = a^n

Passo 5

Como o limite de f(x) quando x se aproxima de a é igual a f(a) , ou seja, a^n , isso confirma que f(x) = x^n é contínua em x = a .

Resposta

Portanto, comprovamos que a função f(x) = x^n é contínua em x = a para todo n in N .

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