Defina continuidade de funções reais em domínios.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente definir a continuidade de funções reais em domínios. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente no estudo de funções e seus comportamentos. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em todos os pontos de seu domínio e quais condições devem ser atendidas para que isso aconteça.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é continuidade em um ponto. Uma função
é contínua em um ponto
se três condições forem verdadeiras:
- A função está definida em
, ou seja, existe. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite é igual ao valor da função no ponto, ou seja,
.
Passo 3
Agora, para que a função seja contínua em todo o seu domínio, essas três condições precisam ser verdadeiras para todos os pontos
que pertencem ao domínio da função. Ou seja, não pode haver nenhum ponto no domínio onde a função fique “quebrada” ou “salteada”.
Passo 4
Vamos formalizar isso usando a notação matemática. Dizemos que uma função
é contínua no seu domínio
se, para todo ponto
:
Isso significa que, não importa qual ponto você escolher no domínio, a função não vai ter interrupções ali.
Resposta
A continuidade de uma função real
em seu domínio
significa que, para todo ponto
em
, o limite de
quando
se aproxima de
existe e é igual ao valor da função nesse ponto. Formalmente: