Defina continuidade de funções reais em domínios.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente definir a continuidade de funções reais em domínios. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente no estudo de funções e seus comportamentos. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em todos os pontos de seu domínio e quais condições devem ser atendidas para que isso aconteça.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é continuidade em um ponto. Uma função f é contínua em um ponto c se três condições forem verdadeiras:
  1. A função está definida em c , ou seja, f(c) existe.
  2. O limite de f(x) quando x se aproxima de c existe.
  3. O limite é igual ao valor da função no ponto, ou seja, limx to c f(x) = f(c) .

Passo 3

Agora, para que a função seja contínua em todo o seu domínio, essas três condições precisam ser verdadeiras para todos os pontos c que pertencem ao domínio da função. Ou seja, não pode haver nenhum ponto no domínio onde a função fique “quebrada” ou “salteada”.

Passo 4

Vamos formalizar isso usando a notação matemática. Dizemos que uma função f: D to R é contínua no seu domínio D se, para todo ponto c in D :
limx to c f(x) = f(c)
Isso significa que, não importa qual ponto você escolher no domínio, a função não vai ter interrupções ali.

Resposta

A continuidade de uma função real f: D to R em seu domínio D significa que, para todo ponto c em D , o limite de f(x) quando x se aproxima de c existe e é igual ao valor da função nesse ponto. Formalmente:
forall c in D, limx to c f(x) = f(c)

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