Prove que a função constante é contínua.
Passo 1
Então, a gente tem a seguinte questão: Provar que uma função constante é contínua. Aqui, vamos trabalhar com o conceito de continuidade e com o que é uma função constante. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição de continuidade e aplicar essa definição a uma função que sempre retorna o mesmo valor, ou seja, constante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função constante. Uma função $ f $ é chamada de constante se, para todo $ x $ no domínio, o valor de $ f(x) $ é sempre o mesmo. Formalmente, podemos escrever:
onde $ c $ é uma constante real.
Passo 3
Agora, vamos revisitar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Dizemos que uma função $ f $ é contínua em um ponto $ a $ se:
Ou seja, o limite da função quando $ x $ se aproxima de $ a $ é igual ao valor da função em $ a $.
Passo 4
Vamos aplicar esta definição à nossa função constante $ f(x) = c $. Queremos mostrar que para qualquer ponto $ a $ no domínio,
Passo 5
Como $ f(x) = c $ para todo $ x $, o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ é simplesmente $ c $, já que a função não muda de valor:
E, claramente,
Portanto,
Resposta
Assim, provamos que toda função constante $ f(x) = c $ satisfaz a condição de continuidade em qualquer ponto do seu domínio. Logo, a função constante é contínua.