Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
integralC(1-y^3) d x+(x^3+e^y^2) d y
onde C é o limite da região entre os círculos x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
integralCl(1 - y^3r),dx ;+;l(x^3+e^y^2r),dy
onde C é a fronteira da região anelar entre os círculos x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9, com orientação positiva (sentido anti-horário).
Conteúdo envolvido: Teorema de Green e coordenadas polares para integrar funções radiais.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, se P(x,y)=1-y^3 e Q(x,y)=x^3+e^y^2, então
ointCP,dx+Q,dy =integral duplaRl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA,
em que R é a região entre os círculos de raios 2 e 3.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x =partialpartial xl(x^3+e^y^2r) =3x^2,
partial Ppartial y =partialpartial yl(1-y^3r) =-3y^2
Logo o integrando é
partial Qpartial x-partial Ppartial y =3x^2-(-3y^2) =3(x^2+y^2)

Passo 4

Convertemos para coordenadas polares l(x=rcostheta,y=rsinthetar), onde dA = r,dr,dtheta e x^2+y^2=r^2. A integral dupla fica
integral duplaR3(x^2+y^2),dA =integral0^2pi!!integralr=2^33,r^2cdot r,dr,dtheta =integral0^2pi!!integral2^33r^3,dr,dtheta

Passo 5

Primeiro integramos em r:
integral2^33r^3,dr =3[r^44]2^3 =3cdot3^4-2^44 =3cdot81-164 =1954
Depois em theta:
integral0^2pi1954,dtheta =1954cdot2pi =195pi2

Resposta

195pi2

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