Defina funções contínuas em um ponto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para definirmos o que significa uma função ser contínua em um ponto. Isso faz parte do estudo de análise matemática, mais especificamente dentro do tópico de continuidade de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de limite e como ele se relaciona com a definição de continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função contínua. Imagina que você está desenhando o gráfico de uma função sem levantar o lápis do papel. Se você consegue fazer isso para todo o domínio da função, ela é contínua em todos os pontos. Mas vamos focar em um ponto específico.
Passo 3
Para uma função ser contínua em um ponto, precisamos analisar três condições principais. Essas condições envolvem o valor da função no ponto, o limite da função quando nos aproximamos desse ponto, e a igualdade entre esses dois valores.
Passo 4
A primeira condição é que a função deve estar definida no ponto em questão. Ou seja, se estamos olhando para a continuidade em $ a $, a função $ f(a) $ precisa existir.
Passo 5
A segunda condição envolve o conceito de limite. Precisamos garantir que o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ existe. Isso significa que o valor que $ f(x) $ está se aproximando quando $ x $ chega perto de $ a $ deve ser bem definido.
Passo 6
A terceira e última condição é que o limite que encontramos no passo anterior seja igual ao valor da função no ponto. Ou seja, o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ deve ser igual a $ f(a) $.
Resposta
Portanto, uma função $ f $ é contínua no ponto $ a $ se todas as seguintes condições forem satisfeitas:
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A função está definida em $ a $:
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O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ existe:
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O limite de $ f(x) $ é igual ao valor da função no ponto: