Dado o PVI:
c y^prime=y x^2-y y(0)=1
Encontre uma aproximação para y(1) usando o Método de Taylor de 2^ a Ordem, com h=0,2.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'=y,x^2 - y, y(0)=1,
e pede uma aproximação de y(1) pelo método de Taylor de 2ª ordem com passo h=0,2.
Para isso precisamos conhecer f(x,y)=y(x^2-1) e suas derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y.

Passo 2

Calculemos
f(x,y)=y,(x^2-1),
partial fpartial x(x,y)=ycdot 2x,
partial fpartial y(x,y)=x^2-1
Além disso, no termo de 2ª ordem aparece
partial fpartial x+f,partial fpartial y =2x,y + y,(x^2-1)^2 = yl(2x+(x^2-1)^2r)

Passo 3

A fórmula do método de Taylor de 2ª ordem é
yn+1 = yn + h,f(xn,yn) + h^22l[fx(xn,yn)+fy(xn,yn),f(xn,yn)r]
Substituindo f, fx e fy:
yn+1 = ynl[1 + h,(xn^2-1) + tfrach^22l(2xn+(xn^2-1)^2r)r]

Passo 4

Agora iteramos de x0=0 até x5=1 com h=0,2. Para cada passo definimos
An = xn^2-1, Bn = 2xn + An^2,
e
yn+1 = ynl[1 + h,An + tfrach^22Bnr]
Fazendo as contas:
Para n=0: x0=0, y0=1, A0=-1, B0=1
y1 = 1l[1 + 0,2(-1) + tfrac0,2^22cdot1r]=0,82
Para n=1: x1=0,2, y1=0,82, A1=-0,96, B1=1,3216
y2 = 0,82l[1 + 0,2(-0,96) + 0,02cdot1,3216r]approx0,68423
Para n=2: x2=0,4, y2=0,68423, A2=-0,84, B2=1,5056
y3approx0,58989
Para n=3: x3=0,6, y3=0,58989, A3=-0,64, B3=1,6096
y4approx0,53337
Para n=4: x4=0,8, y4=0,53337, A4=-0,36, B4=1,7296
y5approx0,51342, onde x5=1.

Resposta

A aproximação pelo método de Taylor de 2ª ordem com h=0,2 é
y(1)approx0,5134

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