Seja o Problema de Valor Inicial (PVI):
c x d yd x=x-y y(1)=2
Estime o valor de y(2), com h=0,25, usando o Método de Euler (ou de Taylor de 1^ a Ordem).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (PVI) usando o Método de Euler! O enunciado nos dá a equação diferencial:
c x d yd x=x-y y(1)=2
Nosso objetivo é estimar o valor de y(2) com um passo h = 0,25 . Para isso, vamos precisar entender como o Método de Euler funciona, que é uma técnica numérica para aproximar soluções de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação diferencial para ficar no formato padrão dydx = f(x, y) . A equação dada é:
x d yd x = x - y
Dividindo ambos os lados por x (supondo que x neq 0 ):
d yd x = 1 - yx
Então, temos f(x, y) = 1 - yx .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Método de Euler. A fórmula geral é:
yn+1 = yn + h cdot f(xn, yn)
Onde:
  • yn é o valor atual de y
  • h é o passo (neste caso, 0,25)
  • f(xn, yn) é a derivada calculada na posição atual
Começamos com x0 = 1 e y0 = 2 .

Passo 4

Primeira Iteração:
x0 = 1, y0 = 2
Calculando f(x0, y0) :
f(1, 2) = 1 - 21 = 1 - 2 = -1
Então,
y1 = y0 + h cdot f(x0, y0) = 2 + 0,25 cdot (-1) = 2 - 0,25 = 1,75
Agora, x1 = x0 + h = 1 + 0,25 = 1,25 .

Passo 5

Segunda Iteração:
x1 = 1,25, y1 = 1,75
Calculando f(x1, y1) :
f(1,25, 1,75) = 1 - 1,751,25 = 1 - 1,4 = -0,4
Então,
y2 = y1 + h cdot f(x1, y1) = 1,75 + 0,25 cdot (-0,4) = 1,75 - 0,1 = 1,65
Agora, x2 = x1 + h = 1,25 + 0,25 = 1,5 .

Passo 6

Terceira Iteração:
x2 = 1,5, y2 = 1,65
Calculando f(x2, y2) :
f(1,5, 1,65) = 1 - 1,651,5 = 1 - 1,1 = -0,1
Então,
y3 = y2 + h cdot f(x2, y2) = 1,65 + 0,25 cdot (-0,1) = 1,65 - 0,025 = 1,625
Agora, x3 = x2 + h = 1,5 + 0,25 = 1,75 .

Passo 7

Quarta Iteração:
x3 = 1,75, y3 = 1,625
Calculando f(x3, y3) :
f(1,75, 1,625) = 1 - 1,6251,75 approx 1 - 0,9286 = 0,0714
Então,
y4 = y3 + h cdot f(x3, y3) = 1,625 + 0,25 cdot 0,0714 approx 1,625 + 0,01785 = 1,64285
Agora, x4 = x3 + h = 1,75 + 0,25 = 2,0 .

Resposta

Portanto, a estimativa de y(2) usando o Método de Euler com h = 0,25 é aproximadamente 1,64285.

Exercícios relacionados