Dado o PVI:
c d yd x-(x+1)^2=2 yx+1 y(0)=3
Obtenha aproximações para y(1) aplicando o Método de Taylor de 1^ a Ordem, com h=0,2 e h=0,125.

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial
dydx-(x+1)^2=2yx+1, y(0)=3,
que podemos reescrever em forma explícita como
dydx=f(x,y)com f(x,y)=2yx+1+(x+1)^2
O conteúdo é o Método de Taylor de 1ª ordem (que coincide com o método de Euler explícito). Vamos usar a fórmula
yn+1=yn+h,f(xn,yn),
partindo de (x0,y0)=(0,3) até x=1, com dois valores de passo h.

Passo 2

Aplicamos a iteração
xn+1=xn+h, yn+1=yn+hl(2ynxn+1+(xn+1)^2r)
Para cada passo h, calculamos em sequência (xn,yn) até atingir x=1.

Passo 3

Caso h=0,2, temos n=1-00,2=5 iterações:
(x0,y0)=(0,3)
1. f(0,3)=tfrac2cdot 31+(1)^2=7, logo y1=3+0,2cdot 7=4,4, x1=0,2.
2. f(0,2,4,4)=tfrac2cdot 4,41,2+(1,2)^2approx 8,77333, y2approx 4,4+0,2cdot 8,77333=6,15467, x2=0,4.
3. Repetindo até x5=1, obtém-se
y5approx 13,96219

Passo 4

Caso h=0,125, temos n=1-00,125=8 iterações:
(x0,y0)=(0,3)
1. f(0,3)=7, y1=3+0,125cdot 7=3,875, x1=0,125.
2. f(0,125,3,875)approx 8,15451, y2approx 4,89431, ···
3. Continuando até x8=1, resulta
y8approx 14,63957

Resposta

Para h=0,2, y(1)approx13,9622.
Para h=0,125, y(1)approx14,6396.

Exercícios relacionados