Dado o PVI:
c y^prime=y^2-x y(0)=1
Encontre uma aproximação para y(0,6) usando o Método de Taylor de 2^3 Ordem, com h=0,2.

Passo 1

O problema é um valor inicial (PVI)
y' = y^2 - x, y(0)=1,
e queremos aproximar y(0,6) pelo método de Taylor de 3ª ordem com passo h=0,2.
Conteúdo: métodos numéricos para EDO usando expansão de Taylor e cálculo das derivadas até a 3ª ordem.

Passo 2

Primeiro obtemos as derivadas de y em função de x e y:
y' = f(x,y) = y^2 - x
Derivando em relação a x:
y'' = ddx(y^2 - x) = 2y,y' - 1 = 2y(y^2 - x) - 1 = 2y^3 - 2xy - 1
Derivando novamente:
y''' = ddxy'' = 6y^2,y' - 2y - 2x,y' = 6y^2(y^2 - x) - 2y - 2x(y^2 - x) = 6y^4 - 8xy^2 - 2y + 2x^2
A fórmula do método de Taylor de ordem 3 é
yn+1 = yn + h,y'n + h^22,y''n + h^36,y'''n

Passo 3

Passo de x0=0 a x1=0,2, com y0=1:
y'0 = 1^2 - 0 = 1, y''0 = 2cdot1^3 - 2cdot0cdot1 - 1 = 1, y'''0 = 6cdot1^4 -8cdot0cdot1^2 -2cdot1 +2cdot0^2 = 4
Então
y1 = 1 +0,2cdot1 +0,2^22cdot1 +0,2^36cdot4 =1+0,2+0,02+0,0053333 approx1,2253333

Passo 4

Passo de x1=0,2 a x2=0,4, com y1approx1,2253333:
y'1 approx1,2253^2-0,2=1,301468, y''1 approx2(1,2253)^3-2cdot0,2cdot1,2253-1=2,189467,
y'''1 approx6(1,2253)^4-8cdot0,2cdot(1,2253)^2-2cdot1,2253+2cdot0,2^2=8,753422
Logo
y2 = 1,2253333 +0,2cdot1,301468 +0,02cdot2,189467 +0,00133333cdot8,753422 approx1,5410874

Passo 5

Passo de x2=0,4 a x3=0,6, com y2approx1,5410874:
y'2 approx(1,5410874)^2-0,4=1,9749504, y''2 approx2(1,5410874)^3-2cdot0,4cdot1,5410874-1=5,086742,
y'''2 approx6(1,5410874)^4-8cdot0,4cdot(1,5410874)^2-2cdot1,5410874+2cdot0,4^2=23,480324
Portanto
y3 = 1,5410874 +0,2cdot1,9749504 +0,02cdot5,086742 +0,00133333cdot23,480324 approx2,0691194

Resposta

y(0,6)approx2,0691

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