Esboce a região de integração e mude a ordem de integração para a integral dupla:
integral-2^2 integral0^raiz4-y^2 f(x, y) d x d y

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma integral dupla bem legal:
integral-2^2 integral0^raiz4-y^2 f(x, y) , dx , dy
A parada é esboçar a região onde vamos integrar e depois trocar a ordem de integração. Para isso, vamos precisar entender um pouco de geometria no plano XY e como as integrais duplas funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Olha só, o valor de y vai de -2 até 2. Para cada y fixo, o x varia de 0 até raiz4 - y^2 .
Para visualizar isso, imagine um círculo de raio 2 centrado na origem, porque a equação x^2 + y^2 = 4 representa esse círculo. Mas como x só vai de 0 até raiz4 - y^2 , a gente está olhando apenas para a metade direita desse círculo.

Passo 3

Agora, vamos desenhar esse gráfico. No eixo y , marcamos de -2 a 2. Para cada valor de y , o x começa em 0 e vai até a borda do círculo, que é raiz4 - y^2 . Isso cria uma região semicircular à direita do eixo y .

Passo 4

Com a região em mente, vamos trocar a ordem de integração. Originalmente, a gente integra primeiro em x e depois em y . Vamos inverter isso, integrando primeiro em y e depois em x .

Passo 5

Para fazer isso, precisamos determinar os novos limites de integração. Agora, x vai variar de 0 até 2, já que estamos na metade direita do círculo de raio 2. Para cada x fixo, y vai de -raiz4 - x^2 até raiz4 - x^2 .

Passo 6

Então, a nova integral com a ordem de integração trocada fica assim:
integral0^2 integral-raiz4 - x^2^raiz4 - x^2 f(x, y) , dy , dx

Resposta

A ordem de integração trocada é:
integral0^2 integral-raiz4 - x^2^raiz4 - x^2 f(x, y) , dy , dx

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