Esboce a região de integração e mude a ordem de integração para a integral dupla:
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma integral dupla bem legal:
A parada é esboçar a região onde vamos integrar e depois trocar a ordem de integração. Para isso, vamos precisar entender um pouco de geometria no plano XY e como as integrais duplas funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Olha só, o valor de
vai de -2 até 2. Para cada
fixo, o
varia de 0 até
.
Para visualizar isso, imagine um círculo de raio 2 centrado na origem, porque a equação
representa esse círculo. Mas como
só vai de 0 até
, a gente está olhando apenas para a metade direita desse círculo.
Passo 3
Agora, vamos desenhar esse gráfico. No eixo
, marcamos de -2 a 2. Para cada valor de
, o
começa em 0 e vai até a borda do círculo, que é
. Isso cria uma região semicircular à direita do eixo
.
Passo 4
Com a região em mente, vamos trocar a ordem de integração. Originalmente, a gente integra primeiro em
e depois em
. Vamos inverter isso, integrando primeiro em
e depois em
.
Passo 5
Para fazer isso, precisamos determinar os novos limites de integração. Agora,
vai variar de 0 até 2, já que estamos na metade direita do círculo de raio 2. Para cada
fixo,
vai de
até
.
Passo 6
Então, a nova integral com a ordem de integração trocada fica assim:
Resposta
A ordem de integração trocada é: