Dar a solução geral da equação
sabendo que
é solução particular.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
que é uma equação de Riccati, e informa uma solução particular
. Vamos usar a transformação padrão para Riccati, definindo
o que leva a uma equação linear de primeira ordem em
.
Passo 2
Substituindo
na equação original e usando que
satisfaz
obtém-se, após simplificar,
Como
, temos
, logo a equação fica
Passo 3
É uma equação linear
com
O fator integrante é
Passo 4
Multiplicando a equação por
vem
Integrando em
obtemos
onde
é constante de integração.
Passo 5
Isolando
segue
Portanto a solução geral da Riccati é
Passo 6
Simplificando a fração interna obten-se
onde
é a constante arbitrária que caracteriza a família de soluções.