Dar a solução geral da equação d yd x=e^x y^2-y+e^-x sabendo que y=-e^-x cot x é solução particular.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
dydx=e^xy^2-y+e^-x
que é uma equação de Riccati, e informa uma solução particular y1(x)=-e^-xcot x. Vamos usar a transformação padrão para Riccati, definindo
y(x)=y1(x)+1u(x),
o que leva a uma equação linear de primeira ordem em u(x).

Passo 2

Substituindo y=y1+1/u na equação original e usando que y1 satisfaz
y1'=e^xy1^2-y1+e^-x,
obtém-se, após simplificar,
u'(x)+(2e^xy1(x)-1),u(x)+e^x=0
Como y1(x)=-e^-xcot x, temos 2e^xy1=-2cot x, logo a equação fica
u'(x)-l(2cot x+1r),u(x)=-e^x

Passo 3

É uma equação linear u'+P(x)u=Q(x) com
P(x)=-2cot x-1, Q(x)=-e^x
O fator integrante é
mu(x)=exp!l(integral P(x),dxr) =expl(-2ln|sin x|-xr) =e^-xcsc^2x

Passo 4

Multiplicando a equação por mu(x) vem
ddxl(u,e^-xcsc^2xr) =-csc^2x
Integrando em x obtemos
u(x),e^-xcsc^2x=cot x+C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolando u(x) segue
u(x)=e^xsin^2xl(cot x+Cr) =e^xl(sin xcos x+Csin^2xr)
Portanto a solução geral da Riccati é
y(x)=y1(x)+1u(x) =-e^-xcot x+1e^xsin xl(cos x +Csin xr)

Passo 6

Simplificando a fração interna obten-se
y(x) =e^-x,sin x -Ccos xcos x +Csin x ,,
onde C é a constante arbitrária que caracteriza a família de soluções.

Resposta

boxedy(x)=e^-x,sin x -Ccos xcos x +Csin x, CinR

Exercícios relacionados