Use transformada de Laplace para calcular a solução do problema de valor inicial
l y^prime prime+4 y=f(t), t>0 y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. O exercício pede para resolver um problema de valor inicial usando a transformada de Laplace. A equação que estamos trabalhando é uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' + 4y = f(t), t > 0 y(0) = 1, y'(0) = 0
Então, vamos precisar saber como aplicar a transformada de Laplace em equações diferenciais e usar as condições iniciais fornecidas para chegar à solução final.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembra que a transformada de Laplace de uma derivada é uma ferramenta poderosa para transformar equações diferenciais em algébricas, que são mais fáceis de resolver.
Aplicando a transformada de Laplace na equação:
Ly'' + 4Ly = Lf(t)

Passo 3

Agora, precisamos lembrar como transformar as derivadas. A transformada de Laplace da segunda derivada de y(t) é dada por:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Onde Y(s) é a transformada de y(t) , e y(0) e y'(0) são os valores iniciais.
Substituindo as condições iniciais y(0) = 1 e y'(0) = 0 :
Ly'' = s^2 Y(s) - s cdot 1 - 0 = s^2 Y(s) - s
Também sabemos que:
L4y = 4Y(s)
Então, nossa equação transformada fica:
s^2 Y(s) - s + 4Y(s) = Lf(t) = F(s)

Passo 4

Vamos agora juntar os termos que envolvem Y(s) :
(s^2 + 4)Y(s) - s = F(s)
Agora, isolemos Y(s) :
Y(s) = F(s) + ss^2 + 4

Passo 5

Por fim, para encontrar y(t) , precisamos aplicar a transformada inversa de Laplace em Y(s) :
y(t) = L^-1F(s) + ss^2 + 4
Isso pode ser separado em duas partes:
y(t) = L^-1F(s)s^2 + 4 + L^-1ss^2 + 4
Sabemos que:
L^-1ss^2 + 4 = cos(2t)
Então, a solução fica:
y(t) = L^-1F(s)s^2 + 4 + cos(2t)

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = L^-1F(s)s^2 + 4 + cos(2t)

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