Use transformada de Laplace para calcular a solução do problema de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. O exercício pede para resolver um problema de valor inicial usando a transformada de Laplace. A equação que estamos trabalhando é uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' + 4y = f(t), t > 0 y(0) = 1, y'(0) = 0
Então, vamos precisar saber como aplicar a transformada de Laplace em equações diferenciais e usar as condições iniciais fornecidas para chegar à solução final.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembra que a transformada de Laplace de uma derivada é uma ferramenta poderosa para transformar equações diferenciais em algébricas, que são mais fáceis de resolver.
Aplicando a transformada de Laplace na equação:
Ly'' + 4Ly = Lf(t)
Passo 3
Agora, precisamos lembrar como transformar as derivadas. A transformada de Laplace da segunda derivada de y(t) é dada por:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Onde Y(s) é a transformada de y(t) , e y(0) e y'(0) são os valores iniciais.
Substituindo as condições iniciais y(0) = 1 e y'(0) = 0 :
Ly'' = s^2 Y(s) - s cdot 1 - 0 = s^2 Y(s) - s
Também sabemos que:
L4y = 4Y(s)
Então, nossa equação transformada fica:
s^2 Y(s) - s + 4Y(s) = Lf(t) = F(s)
Passo 4
Vamos agora juntar os termos que envolvem Y(s) :
(s^2 + 4)Y(s) - s = F(s)
Agora, isolemos Y(s) :
Y(s) = F(s) + ss^2 + 4
Passo 5
Por fim, para encontrar y(t) , precisamos aplicar a transformada inversa de Laplace em Y(s) :