Dado Q=(a, b) com a, b in Z e b neq 0. Definimos a relação R em Q por
(a, b) R(c, d) see a d=c b
a Mostre que R é uma relação de equivalência.
b Ache três elementos em [(1,3)]R
c Mostre que forall n in Z, n neq 0,[(x, y)]R= square.
d Seja [Q]R a operação binária em [(x, y)]R square[(m, n)]R=[(xm, yn)]R definida por:
[(x, y)]R=[(z, w)]R
Mostre que a operação está bem definida, i.e., se [(m, n)]R=[(p, q)]R e [(x, y)]R square[(m, n)]R=(z, w)]R square[(p, q)]R então
oplus
e Desta vez tentamos definir uma relação binária [Q]R em [(x, y)]R oplus[(m, n)]R=[(x+m, y+n)]R por:
oplus
Mostre que [Q]R não está bem definida, ou seja não é realmente uma operação binária em boxplus
f Seja [Q]R a operação binária em [(x, y)]R boxplus[(m, n)]R=[(x n+y m, y n)]R definida por:
Mostre que a operação está bem definida.
g O que é Q?

Passo 1

Temos o conjunto Q = (a,b) mid a,binZ,;bneq0 e a relação R dada por (a,b)R(c,d) se, e só se, a d = c b. Vamos mostrar que R é equivalência, encontrar elementos de uma classe, provar igualdade de classes, e testar se operações em classes estão bem definidas.

Passo 2

Para provar que R é relação de equivalência, checamos:
Reflexividade: para todo (a,b)in Q temos a b = b a, ou seja (a,b)R(a,b).
Simetria: se (a,b)R(c,d), então a d = c b. Basta trocar lados para ver que c b = a d, logo (c,d)R(a,b).
Transitividade: se (a,b)R(c,d) e (c,d)R(e,f), então a d = c b e c f = d e. Multiplicando a primeira por f e a segunda por b obtemos a d f = c b f e b c f = b d e. Igualando estas duas expressões e cancelando dneq0 vem a f = b e, isto é, (a,b)R(e,f).

Passo 3

b) Três elementos em [(1,3)]R podem ser, por exemplo, (2,6), (3,9) e (-1,-3), pois 1cdot6=3cdot2, 1cdot9=3cdot3 e 1cdot(-3)=3cdot(-1).

Passo 4

c) Para qualquer ninZ,nneq0, observe que (x,y)R(nx,ny) porque xcdot(ny)=ycdot(nx). Assim as classes são iguais: [(x,y)]R = [(nx,ny)]R.

Passo 5

d) Definimos [(x,y)]R ;square; [(m,n)]R = [(x m, y n)]R. Se (x,y)R(z,w) e (m,n)R(p,q), então xw=yz e m q = n p. Queremos (x m,y n)R(z p,w q), isto é, x mcdot w q = y ncdot z p. De fato,
x m w q = (x w)(m q) = (y z)(n p) = y n (z p),
logo a operação é bem definida.

Passo 6

e) Tentamos [(x,y)]R oplus [(m,n)]R = [(x+m,y+n)]R. Tomemos (x,y)=(1,2) e (z,w)=(2,4), que estão em mesma classe. E (m,n)=(1,3). Então
$$(1,2)\oplus(1,3)=(2,5),\quad (2,4)\oplus(1,3)=(3,7).
$$
Mas (1,2)oplus(1,3)=(2,5), (2,4)oplus(1,3)=(3,7) e (2,5) não são relacionados, pois (3,7). Logo 2cdot7neq5cdot3 não está bem definido.

Passo 7

f) Para [(x,y)]R boxplus [(m,n)]R = [(x n + y m, y n)]R, supondo (x,y)R(z,w) e (m,n)R(p,q), temos xw=yz e m q=n p. Verificamos
(xn+ym)cdot w q = x n w q + y m w q = (x w)(n q) + y w (m q) = (y z)(n q) + y w (n p) = y n (z q + w p),
o que mostra que (x n + y m, y n)R(z q + w p,w q). Assim boxplus é bem definido.

Passo 8

g) O conjunto Q descrito no início é justamente a construção dos números racionais ( Q) via classes de pares (a,b) com bneq0.

Resposta

O conjunto Q obtido pelas classes de equivalência é o corpo dos números racionais, isto é, Q.

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