Dado
e
. Definimos a relação
em
por
a Mostre que
é uma relação de equivalência.
b Ache três elementos em
c Mostre que
.
d Seja
a operação binária em
definida por:
Mostre que a operação está bem definida, i.e., se
e
então
e Desta vez tentamos definir uma relação binária
em
por:
Mostre que
não está bem definida, ou seja não é realmente uma operação binária em
f Seja
a operação binária em
definida por:
Mostre que a operação está bem definida.
g O que é Q?
b Ache três elementos em
c Mostre que
d Seja
f Seja
g O que é Q?
Passo 1
Temos o conjunto
e a relação
dada por
se, e só se,
. Vamos mostrar que
é equivalência, encontrar elementos de uma classe, provar igualdade de classes, e testar se operações em classes estão bem definidas.
Passo 2
Para provar que
é relação de equivalência, checamos:
Reflexividade: para todo temos
, ou seja
.
Simetria: se , então
. Basta trocar lados para ver que
, logo
.
Transitividade: se e
, então
e
. Multiplicando a primeira por
e a segunda por
obtemos
e
. Igualando estas duas expressões e cancelando
vem
, isto é,
.
Reflexividade: para todo
Simetria: se
Transitividade: se
Passo 3
b) Três elementos em
podem ser, por exemplo,
,
e
, pois
,
e
.
Passo 4
c) Para qualquer
, observe que
porque
. Assim as classes são iguais:
.
Passo 5
d) Definimos
. Se
e
, então
e
. Queremos
, isto é,
. De fato,
logo a operação é bem definida.
Passo 6
e) Tentamos
. Tomemos
e
, que estão em mesma classe. E
. Então
$$(1,2)\oplus(1,3)=(2,5),\quad (2,4)\oplus(1,3)=(3,7).
$$
Mas e
não são relacionados, pois
. Logo
não está bem definido.
Mas
Passo 7
f) Para
, supondo
e
, temos
e
. Verificamos
o que mostra que
. Assim
é bem definido.
Passo 8
g) O conjunto
descrito no início é justamente a construção dos números racionais (
) via classes de pares
com
.
Resposta
O conjunto
obtido pelas classes de equivalência é o corpo dos números racionais, isto é,
.