Verificar se as aplicações seguintes de mathbbR^3 em mathbbR^3 são transformações lineares :
k(x, y, z)=(y, x y, y)

Passo 1

O enunciado pede para a gente verificar se a aplicação k:R^3toR^3, definida por k(x,y,z)=(y,;x y,;y), é uma transformação linear. O conteúdo que vamos usar é a definição de transformação linear, que exige duas propriedades: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Uma transformação T é linear se, para todo vetor v,winR^3 e todo escalar cinR, valerem simultaneamente:
T(v+w)=T(v)+T(w),
T(c,v)=c,T(v)

Passo 3

Aqui basta mostrar que a segunda propriedade falha. Vamos calcular k(c,(x,y,z)) e comparar com c,k(x,y,z):
kl(c x,;c y,;c zr)=l(c y,;(c x)(c y),;c yr)=l(c y,;c^2,x y,;c yr),
$$c,k(x,y,z)=c,(y,;x y,;y)=\bigl(c y,;c,x y,;c y\bigr).
$$

Passo 4

Como c^2,x yneq c,x y em geral (por exemplo, pegue c=2 e x=y=1: c^2xy=4 mas cxy=2), as duas expressões não coincidem. Portanto a homogeneidade falha e k não é linear.

Resposta

A aplicação k não é uma transformação linear.

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