Verificar se as aplicações seguintes de
em
são transformações lineares :
Passo 1
O enunciado pede para a gente verificar se a aplicação
, definida por
, é uma transformação linear. O conteúdo que vamos usar é a definição de transformação linear, que exige duas propriedades: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Uma transformação
é linear se, para todo vetor
e todo escalar
, valerem simultaneamente:
Passo 3
Aqui basta mostrar que a segunda propriedade falha. Vamos calcular
e comparar com
:
$$c,k(x,y,z)=c,(y,;x y,;y)=\bigl(c y,;c,x y,;c y\bigr).
$$
Passo 4
Como
em geral (por exemplo, pegue
e
:
mas
), as duas expressões não coincidem. Portanto a homogeneidade falha e
não é linear.
Resposta
A aplicação
não é uma transformação linear.