Provar que as aplicações seguintes são transformações lineares e achar o nucleo e a imagem :
lllf: R^3 & & R^2 (x, y, z) & mapsto & (x+y-z, x-y+z)

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear f: R^3toR^2 por f(x,y,z)=(x+y-z,;x-y+z). Nosso objetivo é (1) provar que f é linear (isto é, satisfaz aditividade e homogeneidade) e (2) encontrar ker(f) e Im(f).

Passo 2

Para provar a linearidade usamos a definição. Seja u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) em R^3 e cinR. Então
f(u+v)=f(x1+x2,,y1+y2,,z1+z2)=( (x1+x2)+(y1+y2)-(z1+z2),;(x1+x2)-(y1+y2)+(z1+z2) )
e por distributividade e comutatividade temos
$$f(u+v)=( (x_1+y_1-z_1)+(x_2+y_2-z_2),;(x_1-y_1+z_1)+(x_2-y_2+z_2) )=f(u)+f(v).
f(u+v)=( (x1+y1-z1)+(x2+y2-z2),;(x1-y1+z1)+(x2-y2+z2) )=f(u)+f(v) f(cu)=f(cx_1,cy_1,cz_1)=(c(x_1+y_1-z_1),;c(x_1-y_1+z_1))=c,f(u).$$

Passo 3

Portanto f é linear.

Passo 4

Para achar ker(f), resolvemos f(x,y,z)=(0,0), ou seja o sistema:
x+y-z=0,x-y+z=0
Somando as duas equações: 2x=0 x=0. Substituindo em x+y-z=0 temos y=z. Logo
$$\ker(f)={(0,t,t):t\in\mathbb{R}}=\mathrm{span}{(0,1,1)}.
$$

Passo 5

Para encontrar Im(f), basta ver as imagens dos vetores da base canônica e1,e2,e3:
$$f(e_1)=f(1,0,0)=(1,1),\quad f(e_2)=f(0,1,0)=(1,-1),\quad f(e_3)=f(0,0,1)=(-1,1).
f(e1)=f(1,0,0)=(1,1), f(e2)=f(0,1,0)=(1,-1), f(e3)=f(0,0,1)=(-1,1) áãí\operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}^2.$$

Resposta

ker(f)=span(0,1,1) e Im(f)=R^2.

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