Provar que as aplicações seguintes são transformações lineares e achar o nucleo e a imagem :
Passo 1
O enunciado define a aplicação linear f:
por
. Nosso objetivo é (1) provar que f é linear (isto é, satisfaz aditividade e homogeneidade) e (2) encontrar
e
.
Passo 2
Para provar a linearidade usamos a definição. Seja
e
em
e
. Então
e por distributividade e comutatividade temos
$$f(u+v)=( (x_1+y_1-z_1)+(x_2+y_2-z_2),;(x_1-y_1+z_1)+(x_2-y_2+z_2) )=f(u)+f(v).
Passo 3
Portanto f é linear.
Passo 4
Para achar
, resolvemos
, ou seja o sistema:
Somando as duas equações:
$$\ker(f)={(0,t,t):t\in\mathbb{R}}=\mathrm{span}{(0,1,1)}.
$$
Passo 5
Para encontrar
, basta ver as imagens dos vetores da base canônica
:
$$f(e_1)=f(1,0,0)=(1,1),\quad f(e_2)=f(0,1,0)=(1,-1),\quad f(e_3)=f(0,0,1)=(-1,1).