Verificar se as aplicações seguintes de
em
são transformações lineares :
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
dada por
é linear. O assunto é transformações lineares e vamos precisar checar as propriedades de aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, confirmamos que
leva o vetor nulo em
no vetor zero em
. Calculamos
:
Passo 3
Agora, verificamos a aditividade: para
e
em
, somamos antes ou depois de aplicar
. Primeiro
Então
Por outro lado,
que resulta em
e isso coincide exatamente com
. Logo,
.
Passo 4
Em seguida, checamos a homogeneidade: para escalar
e
, temos
Fatorando
, obtemos
Assim,
.
Passo 5
Como
,
e
para todos os vetores e escalares, concluímos que
satisfaz as duas propriedades de linearidade. Portanto,
é uma transformação linear.
Resposta
Sim, a aplicação
é uma transformação linear.