Verificar se as aplicações seguintes de mathbbR^3 em mathbbR^3 são transformações lineares :
h(x, y, z)=(x+z, x-y-z, 2 y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação h:R^3toR^3 dada por h(x,y,z)=(x+z,,x-y-z,,2y) é linear. O assunto é transformações lineares e vamos precisar checar as propriedades de aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, confirmamos que h leva o vetor nulo em R^3 no vetor zero em R^3. Calculamos h(0,0,0):
h(0,0,0)=(0+0,,0-0-0,,2cdot0)=(0,0,0)

Passo 3

Agora, verificamos a aditividade: para (x1,y1,z1) e (x2,y2,z2) em R^3, somamos antes ou depois de aplicar h. Primeiro
(x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)=(x1+x2,,y1+y2,,z1+z2)
Então
h(x1+x2,,y1+y2,,z1+z2)=(x1+x2+z1+z2,,(x1+x2)-(y1+y2)-(z1+z2),,2(y1+y2))
Por outro lado,
h(x1,y1,z1)+(h(x2,y2,z2))=(x1+z1,,x1-y1-z1,,2y1)+(x2+z2,,x2-y2-z2,,2y2),
que resulta em
(x1+z1+x2+z2,,(x1-y1-z1)+(x2-y2-z2),,2y1+2y2),
e isso coincide exatamente com h(x1+x2,,y1+y2,,z1+z2). Logo, h(u+v)=h(u)+h(v).

Passo 4

Em seguida, checamos a homogeneidade: para escalar lambdainR e (x,y,z)inR^3, temos
h(lambda x,,lambda y,,lambda z)=(lambda x+lambda z,,lambda x-lambda y-lambda z,,2lambda y)
Fatorando lambda, obtemos
(lambda (x+z),,lambda(x-y-z),,lambda(2y))=lambda(x+z,,x-y-z,,2y)=lambda,h(x,y,z)
Assim, h(lambda v)=lambda h(v).

Passo 5

Como h(0)=0, h(u+v)=h(u)+h(v) e h(lambda v)=lambda h(v) para todos os vetores e escalares, concluímos que h satisfaz as duas propriedades de linearidade. Portanto, h é uma transformação linear.

Resposta

Sim, a aplicação h é uma transformação linear.

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