Verificar se as aplicações seguintes de mathbbR^3 em mathbbR^3 são transformações lineares :
l(x, y, z)=(0,0,0)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação l:R^3toR^3 dada por l(x,y,z)=(0,0,0) é uma transformação linear. Para isso, vamos usar a definição de transformação linear, que exige verificar duas propriedades: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Para testar a aditividade, considere dois vetores u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2). Temos
l(u+v)=l(x1+x2,,y1+y2,,z1+z2)=(0,0,0)
e
l(u)+l(v)=(0,0,0)+(0,0,0)=(0,0,0)
Como l(u+v)=l(u)+l(v), a aditividade vale.

Passo 3

Para testar a homogeneidade, pegue um escalar c e o vetor u=(x,y,z). Então
l(c,u)=l(c,x,,c,y,,c,z)=(0,0,0)
e
c,l(u)=c,(0,0,0)=(0,0,0)
Como l(cu)=c,l(u), a homogeneidade vale.

Passo 4

Tendo verificado que l satisfaz as duas condições (aditividade e homogeneidade), concluímos que l é de fato uma transformação linear. Ela equivale à multiplicação por uma matriz nula 03times3.

Resposta

Sim. A aplicação l(x,y,z)=(0,0,0) é uma transformação linear.

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