Verificar se as aplicações seguintes de
em
são transformações lineares :
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
dada por
é uma transformação linear. Para isso, vamos usar a definição de transformação linear, que exige verificar duas propriedades: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Para testar a aditividade, considere dois vetores
e
. Temos
e
Como
, a aditividade vale.
Passo 3
Para testar a homogeneidade, pegue um escalar
e o vetor
. Então
e
Como
, a homogeneidade vale.
Passo 4
Tendo verificado que
satisfaz as duas condições (aditividade e homogeneidade), concluímos que
é de fato uma transformação linear. Ela equivale à multiplicação por uma matriz nula
.
Resposta
Sim. A aplicação
é uma transformação linear.