Dado o racional 134/7, determine:
i). inteiro m que satisfaça
m <= 1347<m+1
ii). inteiro m que satisfaça
m10 <= 1347<m+110 ;
iii). inteiro m que satisfaça
m10^2 <= 1347<m+110^2 ;
iv). inteiro m que satisfaça
m10^3 <= 1347<m+110^3 ;
v). em geral, dado n in N, determine inteiro m que satisfaça
m10^n <= 1347<m+110^n

Passo 1

O enunciado pede que, dado o racional 1347, encontremos inteiros que satisfaçam as desigualdades de forma
m10^n <= 1347 < m+110^n,
para n=0,1,2,3 e, em geral, para ninN. Vamos usar o conceito de parte inteira (função piso) e a propriedade de escala por 10^n.

Passo 2

Escrevemos
1347 ;=; 19 + 17 ;approx; 19,142857ldots
Logo a parte inteira é lfloortfrac1347rfloor=19 e a expansão decimal periódica valerá para as escalas decimais.

Passo 3

Para n=0 (parte inteira), queremos
m <= 1347 < m+1 Long<=ftrightarrow m = lfloor 1347rfloor = 19

Passo 4

Para n=1 (décimo), multiplicamos tudo por 10:
m10 <= 1347 < m+110 Long<=ftrightarrow m <= 10,1347 < m+1
Como
10,1347 = 13407 = 191 + 37,
segue que
m = lfloor 191 + tfrac37rfloor = 191

Passo 5

Para n=2 e n=3 repetimos o mesmo raciocínio:
100,1347 = 134007 = 1914 + 27 Longrightarrow m = 1914,
1000,1347 = 1340007 = 19142 + 67 Longrightarrow m = 19142

Passo 6

Em geral, para ninN, basta tomar
m = lfloor 10^n ,1347rfloor = lfloor 134cdot 10^n7rfloor

Resposta

i) m = 19
ii) m = 191
iii) m = 1914
iv) m = 19142
v) m = lfloor 134cdot 10^n7rfloor

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