i). Prove que o conjunto dos racionais representáveis por uma fração com denominador potência de 10 é um conjunto denso.
ii). Prove que o conjunto dos racionais representáveis por uma fração com denominador potência de 13 é um conjunto denso.
Passo 1
O enunciado pede para provar que os conjuntos
e
S13 = lk13^n;|;kinZ,,ninNr
são densos em R. Vamos usar a definição de densidade e a propriedade arquimediana dos reais.
Passo 2
Definição de conjunto denso: um subconjunto SsubsetR é denso em R se, para quaisquer a,binR com a<b, existe sin S tal que
a < s < b
Passo 3
Prova para S10:
Dado a<b, defina varepsilon = b - a > 0. Pela propriedade arquimediana existe ninN tal que