i). Prove que o conjunto dos racionais representáveis por uma fração com denominador potência de 10 é um conjunto denso.
ii). Prove que o conjunto dos racionais representáveis por uma fração com denominador potência de 13 é um conjunto denso.

Passo 1

O enunciado pede para provar que os conjuntos
S10 = lk10^n;|;kinZ,,ninNr
e
S13 = lk13^n;|;kinZ,,ninNr
são densos em R. Vamos usar a definição de densidade e a propriedade arquimediana dos reais.

Passo 2

Definição de conjunto denso: um subconjunto SsubsetR é denso em R se, para quaisquer a,binR com a<b, existe sin S tal que
a < s < b

Passo 3

Prova para S10:
Dado a<b, defina varepsilon = b - a > 0. Pela propriedade arquimediana existe ninN tal que
10^n > 1varepsilon
Multiplicando b-a por 10^n obtemos
(b - a),10^n > 1 Longrightarrow a,10^n + 1 < b,10^n
Como o intervalo l(a,10^n,b,10^nr) tem comprimento maior que 1, existe um inteiro k satisfeito
a,10^n < k < b,10^n
Dividindo por 10^n resulta
a < k10^n < b,
e claramente tfrack10^nin S10. Isso mostra que entre a e b sempre há um elemento de S10, logo S10 é denso.

Passo 4

Prova para S13:
O mesmo argumento se aplica trocando 10 por 13. Dados a<b e varepsilon=b-a>0, escolha ninN com
13^n > 1varepsilon
Então
(b - a),13^n > 1 Longrightarrow a,13^n < k < b,13^n
para algum inteiro k. Dividindo por 13^n
a < k13^n < b,
com tfrack13^nin S13. Logo S13 é denso.

Resposta

Ambos os conjuntos S10 e S13 são densos em R.

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