Resolva as equações e inequações modulares:
|x-22-3 x| >= 4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação modular
|x-22-3x|>= 4
O conteúdo envolve valor absoluto de uma fração racional. Para resolvermos vamos:
  1. Determinar o domínio da expressão x-22-3x.
  2. Usar a definição lvert Arvert>= 4iff A>=4 ou A<=-4.
  3. Resolver cada caso por análise de sinais.
  4. Unir as soluções obtidas, excluindo pontos onde a fração é indefinida.

Passo 2

Determinar o domínio de
x-22-3x
O denominador não pode ser zero, logo
2-3xneq 0 Longrightarrow xneq 23

Passo 3

Aplicar a propriedade do valor absoluto:
|x-22-3x|>= 4 Long<=ftrightarrow x-22-3x>= 4 ou x-22-3x<= -4

Passo 4

Resolver x-22-3x>= 4.
Subtraindo 4 e juntando em uma só fração,
x-22-3x-4>= 0 Longrightarrow (x-2)-4(2-3x)2-3x>= 0 Longrightarrow 13x-102-3x>= 0
Os pontos críticos são x=tfrac1013 (numerador zero) e x=tfrac23 (denom. zero). Analisando os sinais, concluímos que
13x-102-3x>= 0 Longrightarrow xinl(tfrac23,tfrac1013r]

Passo 5

Resolver x-22-3x<= -4.
Somando 4 e juntando em uma só fração,
x-22-3x+4<= 0 Longrightarrow (x-2)+4(2-3x)2-3x<= 0 Longrightarrow 6-11x2-3x<= 0
Os pontos críticos são x=tfrac611 (numerador zero) e x=tfrac23 (denom. zero). Pela análise de sinais, obtemos
6-11x2-3x<= 0 Longrightarrow xinl[tfrac611,tfrac23r)

Passo 6

Unindo as duas soluções e lembrando de excluir x=tfrac23, ficamos com
xinl[tfrac611,tfrac23r),cup,l(tfrac23,tfrac1013r]

Resposta

xin l[tfrac611,tfrac23r)cupl(tfrac23,tfrac1013r]

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