Sejam V um espaço vetorial e U, W subespaços de V. Prove que:
a)
b)
se e somente se
c)
a)
b)
c)
Passo 1
Estamos num espaço vetorial V com subespaços U e W. O que vamos usar é a definição da soma de subespaços:
Precisamos provar: (a) U∪W⊆U+W, (b) U+W=W se e somente se U⊆W, © U+V=V.
Passo 2
Para (a), pegue um vetor x∈U∪W. Então x∈U ou x∈W. Se x∈U, escrevemos x=x+0 com 0∈W, logo x∈U+W. Se x∈W, escrevemos x=0+x com 0∈U, logo x∈U+W. Assim todo x de U∪W pertence a U+W, ou seja, U∪W⊆U+W.
Passo 3
Para a direção ⇒ de (b), suponha U+W=W. Todo vetor u∈U está em U+W, mas U+W=W, então u∈W. Logo U⊆W.
Passo 4
Para a direção ⇐ de (b), suponha U⊆W. Então para todo u∈U e w∈W, tanto u quanto w estão em W e W é subespaço, logo u+w∈W. Isso mostra U+W⊆W. Também W⊆U+W porque para todo w∈W temos w=0+w∈U+W. Juntando dá U+W=W.
Passo 5
Para ©, queremos U+V=V. Primeiro, para todo u∈U e v∈V, temos u∈V (pois U⊆V) e v∈V, e V é subespaço, então u+v∈V. Logo U+V⊆V. Por outro lado, para todo v∈V, escrevemos v=0+v com 0∈U, mostrando v∈U+V e assim V⊆U+V. Dessa forma U+V=V.
Resposta
Foi demonstrado que:\n(a) U∪W⊆U+W;\n(b) U+W=W se e somente se U⊆W;\n© U+V=V.