a Dado
um subconjunto de um espaço vetorial
defina o subespaço gerado por
.
b Prove que os vetores
são L.I. se e somente se
.
c Prove que
não implica que os vetores
sejam L.I…
d Dado
. Prove que
é L.l. se e somente se
span(S) para todo
.
e Prove que se
. Então span
.
f Prove que se
é base para
e
então
(\operatorname{span}\left(\mathfrak{B}_{2}\right).
b Prove que os vetores
c Prove que
d Dado
e Prove que se
f Prove que se
Passo 1
O enunciado pede várias provas envolvendo span (subespaço gerado), independência linear (L.I.), soma e interseção de subespaços, e soma direta. Vamos usar definições básicas: span de um conjunto, condição de L.I., soma de subespaços e soma direta (⊕).
Passo 2
Definimos o subespaço gerado por um conjunto S em V como o menor subespaço que contém S, ou seja todas as combinações lineares finitas de elementos de S. Mais formalmente:
Passo 3
Para provar que dois vetores v_1,v_2 são L.I. se e somente se
:
• (⇒) Se v_1,v_2 são L.I., suponha por absurdo que exista . Então
com
não ambos zero. Daí
dá dependência, contra hipótese.
• (⇐) Se o único vetor em comum é 0, então não existe combinação com um dos escalares não zero, pois isso implicaria
não trivial em
. Logo só a combinação trivial é zero, isto é, L.I.
• (⇒) Se v_1,v_2 são L.I., suponha por absurdo que exista
• (⇐) Se o único vetor em comum é 0, então não existe combinação
Passo 4
Para ver que ter
não garante que v_1,v_2,v_3 sejam L.I., basta um contraexemplo em
:
v_1=(1,0),;v_2=(0,1),;v_3=(1,1).
Então cada par gera uma reta, e a interseção das três retas é só o (0,0). Mas são dependentes porque .
v_1=(1,0),;v_2=(0,1),;v_3=(1,1).
Então cada par gera uma reta, e a interseção das três retas é só o (0,0). Mas são dependentes porque
Passo 5
Para provar a equivalência entre S ser L.I. e remover qualquer elemento reduzir o span, note:
• Se S é L.I., então nenhum s_i está em , logo
é estritamente menor que
.
• Se para algum s_i tivermos , então s_i é combinação linear dos outros, gerando dependência. Logo S não seria L.I.
• Se S é L.I., então nenhum s_i está em
• Se para algum s_i tivermos
Passo 6
Para mostrar
:
• Se x∈span(A)+span(B), então x=a+b com a∈span(A), b∈span(B), ou seja combinações de A unidas a combinações de B, logo x é combinação de elementos de A∪B, então x∈span(A∪B).
• Recíproco: qualquer combinação de A∪B pode ser dividida em parte de A e parte de B, cabendo em span(A)+span(B).
• Se x∈span(A)+span(B), então x=a+b com a∈span(A), b∈span(B), ou seja combinações de A unidas a combinações de B, logo x é combinação de elementos de A∪B, então x∈span(A∪B).
• Recíproco: qualquer combinação de A∪B pode ser dividida em parte de A e parte de B, cabendo em span(A)+span(B).
Passo 7
Finalmente, se 𝔅 é base de V e 𝔅=𝔅_1⊔𝔅_2, então
• V=span(𝔅)=span(𝔅_1)+span(𝔅_2).
• Se v∈span(𝔅_1)∩span(𝔅_2), escrevemos v de duas formas em coordenadas da base 𝔅, e pela unicidade de coordenadas só dá v=0.
Logo V=span(𝔅_1)⊕span(𝔅_2).
• V=span(𝔅)=span(𝔅_1)+span(𝔅_2).
• Se v∈span(𝔅_1)∩span(𝔅_2), escrevemos v de duas formas em coordenadas da base 𝔅, e pela unicidade de coordenadas só dá v=0.
Logo V=span(𝔅_1)⊕span(𝔅_2).
Resposta
a) .\n c) Ex.: em
, v_1=(1,0),v_2=(0,1),v_3=(1,1) têm interseção trivial mas são dependentes.\n d) S é L.I. ⇔ para todo s_i,
.\n e)
.\n f) Se 𝔅=𝔅_1⊔𝔅_2 é base, então
.