a Dado S um subconjunto de um espaço vetorial V defina o subespaço gerado por S: span(S)=lang<= Srang<=.
b Prove que os vetores v1, v2 são L.I. se e somente se lang<= v1rang<= caplang<= v2rang<==0.
c Prove que lang<= v1rang<= caplang<= v2rang<= caplang<= v3rang<==0 não implica que os vetores v1, v2, v3 sejam L.I…
d Dado (S=s1, ldots, sn subset V). Prove que S é L.l. se e somente se (span(S backslash si) neq) span(S) para todo si in S.
e Prove que se A, B subset V. Então span (A)+ span(B)=span(A cup B).
f Prove que se B é base para V e B=B1 sqcup B2 então (V=span(B1) oplus)(\operatorname{span}\left(\mathfrak{B}_{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede várias provas envolvendo span (subespaço gerado), independência linear (L.I.), soma e interseção de subespaços, e soma direta. Vamos usar definições básicas: span de um conjunto, condição de L.I., soma de subespaços e soma direta (⊕).

Passo 2

Definimos o subespaço gerado por um conjunto S em V como o menor subespaço que contém S, ou seja todas as combinações lineares finitas de elementos de S. Mais formalmente:
span(S)=lang<= Srang<==alpha1 s1+cdots+alphan sn:;nin N,;siin S,;alphaiin K

Passo 3

Para provar que dois vetores v_1,v_2 são L.I. se e somente se lang<= v1rang<=caplang<= v2rang<==0:
• (⇒) Se v_1,v_2 são L.I., suponha por absurdo que exista 0neq winlang<= v1rang<=caplang<= v2rang<=. Então w=alpha v1=beta v2 com alpha,betain K não ambos zero. Daí alpha v1-beta v2=0 dá dependência, contra hipótese.
• (⇐) Se o único vetor em comum é 0, então não existe combinação alpha v1+beta v2=0 com um dos escalares não zero, pois isso implicaria alpha v1=-(beta v2) não trivial em lang<= v1rang<=caplang<= v2rang<=. Logo só a combinação trivial é zero, isto é, L.I.

Passo 4

Para ver que ter lang<= v1rang<=caplang<= v2rang<=caplang<= v3rang<==0 não garante que v_1,v_2,v_3 sejam L.I., basta um contraexemplo em R^2:
v_1=(1,0),;v_2=(0,1),;v_3=(1,1).
Então cada par gera uma reta, e a interseção das três retas é só o (0,0). Mas são dependentes porque v1+v2-v3=0.

Passo 5

Para provar a equivalência entre S ser L.I. e remover qualquer elemento reduzir o span, note:
• Se S é L.I., então nenhum s_i está em span(Ssetminussi), logo span(Ssetminussi) é estritamente menor que span(S).
• Se para algum s_i tivermos span(Ssetminussi)=span(S), então s_i é combinação linear dos outros, gerando dependência. Logo S não seria L.I.

Passo 6

Para mostrar span(A)+span(B)=span(Acup B):
• Se x∈span(A)+span(B), então x=a+b com a∈span(A), b∈span(B), ou seja combinações de A unidas a combinações de B, logo x é combinação de elementos de A∪B, então x∈span(A∪B).
• Recíproco: qualquer combinação de A∪B pode ser dividida em parte de A e parte de B, cabendo em span(A)+span(B).

Passo 7

Finalmente, se 𝔅 é base de V e 𝔅=𝔅_1⊔𝔅_2, então
• V=span(𝔅)=span(𝔅_1)+span(𝔅_2).
• Se v∈span(𝔅_1)∩span(𝔅_2), escrevemos v de duas formas em coordenadas da base 𝔅, e pela unicidade de coordenadas só dá v=0.
Logo V=span(𝔅_1)⊕span(𝔅_2).

Resposta

a) .\n c) Ex.: em span(S)=lang<= Srang<==sumialphai si: nin N, siin S,alphaiin Kn b) v1,v2 são LI ⇔ (lang<= v1rang<=caplang<= v2rang<==0, v_1=(1,0),v_2=(0,1),v_3=(1,1) têm interseção trivial mas são dependentes.\n d) S é L.I. ⇔ para todo s_i, R^2.\n e) span(Ssetminussi)neqspan(S).\n f) Se 𝔅=𝔅_1⊔𝔅_2 é base, então span(A)+span(B)=span(Acup B).

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