Verificar se as transformações seguintes são ortogonais :
T(x, y)=(x+y, x-y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação linear T: R^2to R^2 dada por T(x,y)=(x+y,,x-y) é ortogonal. Vamos precisar representar T por sua matriz na base canônica e usar a definição de transformação ortogonal: A^T A = I.

Passo 2

Escrevemos T(x,y) como produto de matriz A por vetor coluna. Temos
A= 1 & 1 1 & -1 , T(x,y)=Axy

Passo 3

Calculamos A^T A para ver se dá a matriz identidade. Primeiro
$$
A^T=
A^T= 1 & 1 1 & -1 ^T = 1 & 1 1 & -1 ^T

.
$$

Passo 4

Em seguida
$$
A^T A=
A^T A= 1 & 11 & -1 1 & 11 & -1 = 1+1 & 1-11-1 & 1+1 = 2 & 00 & 2 =2I


=2I.
$$

Passo 5

Como A^T A=2I e não I, a condição de ortogonalidade ( A^T A=I) não se satisfaz.

Resposta

A transformação não é ortogonal.

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