Seja
um
-espaço vetorial e sejam
tais que a função
dada por
, também seja um funcional linear sobre
. Mostre que
ou
.
Passo 1
O enunciado diz que temos um espaço vetorial complexo V e dois funcionais lineares f,g
estes, e definimos h(u)=f(u)·g(u). O que queremos provar é
que, se h também é funcional linear, então f=0 ou g=0.
Vamos usar propriedades de linearidade (em particular homogeneidade) para chegar lá.
estes, e definimos h(u)=f(u)·g(u). O que queremos provar é
que, se h também é funcional linear, então f=0 ou g=0.
Vamos usar propriedades de linearidade (em particular homogeneidade) para chegar lá.
Passo 2
Como h é linear, vale
para todo escalar
e todo
.
Por outro lado,
Por outro lado,
Igualando as duas expressões de h(\alpha v), obtemos
Passo 3
Suponha que exista
tal que f(v_0)g(v_0)\neq0. Então podemos cancelar o fator f(v_0)g(v_0) e obteríamos
o que é impossível (por exemplo, para
daria 4=2). Logo não pode haver vetores
com f(v)g(v)\neq0.
Passo 4
Concluímos então que
Isso significa que o produto pontual dos funcionais é a aplicação zero. Se f\neq0, existe u com f(u)\neq0 e, daí, g(u) deve ser zero; como isso vale para todo u, segue g=0. E se g\neq0, analogamente vem f=0.
Passo 5
Portanto, a única forma de h(u)=f(u)g(u) ser linear é se f=0 ou g=0.
Resposta
f=0 ou g=0