Seja V um C-espaço vetorial e sejam f, g in V^* tais que a função h dada por h(u)= f(u) cdot g(u), também seja um funcional linear sobre V. Mostre que f=0 ou g=0.

Passo 1

O enunciado diz que temos um espaço vetorial complexo V e dois funcionais lineares f,g
estes, e definimos h(u)=f(u)·g(u). O que queremos provar é
que, se h também é funcional linear, então f=0 ou g=0.
Vamos usar propriedades de linearidade (em particular homogeneidade) para chegar lá.

Passo 2

Como h é linear, vale
h(alpha v)=alpha,h(v)
para todo escalar alphainC e todo vin V.
Por outro lado,
h(alpha v)=f(alpha v),g(alpha v)=(alpha f(v)),(alpha g(v))=alpha^2,f(v)g(v)
Igualando as duas expressões de h(\alpha v), obtemos
alpha^2,f(v)g(v)=alpha,f(v)g(v)

Passo 3

Suponha que exista v0 tal que f(v_0)g(v_0)\neq0. Então podemos cancelar o fator f(v_0)g(v_0) e obteríamos
alpha^2=alphapara todo alphainC,
o que é impossível (por exemplo, para alpha=2 daria 4=2). Logo não pode haver vetores v com f(v)g(v)\neq0.

Passo 4

Concluímos então que
f(v)g(v)=0para todo vin V
Isso significa que o produto pontual dos funcionais é a aplicação zero. Se f\neq0, existe u com f(u)\neq0 e, daí, g(u) deve ser zero; como isso vale para todo u, segue g=0. E se g\neq0, analogamente vem f=0.

Passo 5

Portanto, a única forma de h(u)=f(u)g(u) ser linear é se f=0 ou g=0.

Resposta

f=0 ou g=0

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