Dado o seguinte campo de velocidade:
u=a(x1^2-x2^2) e1-2 a x1 x2 e2
Para quais valores de a existirá um potencial de velocidade?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um campo de velocidade dado por:
u = a(x1^2 - x2^2) e1 - 2a x1 x2 e2
O que a gente precisa descobrir é para quais valores de esse campo de velocidade tem um potencial de velocidade. Isso está relacionado ao fato do campo ser conservativo, ou seja, se ele pode ser derivado de uma função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um campo conservativo. Um campo de velocidade é conservativo se existe uma função potencial u = nabla phi tal que:
Isso significa que as componentes do campo de velocidade são as derivadas parciais de em relação às coordenadas e .

Passo 3

Para verificar se o campo é conservativo, uma condição importante é que a circulação do campo seja zero, o que matematicamente se traduz em:
partial u2partial x1 - partial u1partial x2 = 0
Se essa igualdade for satisfeita, então o campo pode ter um potencial de velocidade.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:
Primeiro, a componente u1 = a(x1^2 - x2^2) :
partial u1partial x2 = a cdot (-2x2) = -2a x2
A derivada de u2 = -2a x1 x2 em relação a partial u2partial x1 = -2a x2 é:
Agora, a componente :
A derivada de em relação a é:

Passo 5

Agora, vamos substituir essas derivadas na condição:
partial u2partial x1 - partial u1partial x2 = (-2a x2) - (-2a x2) = 0
Viu só? A diferença deu zero!

Passo 6

Isso significa que, independente do valor de , a condição para o campo ser conservativo é satisfeita. Portanto, para qualquer valor de , o campo de velocidade dado possui um potencial de velocidade.

Resposta

Para qualquer valor real de , existe um potencial de velocidade para o campo de velocidade dado.

Exercícios relacionados