Dado o seguinte campo de velocidade:
Para quais valores de
existirá um potencial de velocidade?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um campo de velocidade dado por:
O que a gente precisa descobrir é para quais valores de
esse campo de velocidade tem um potencial de velocidade. Isso está relacionado ao fato do campo ser conservativo, ou seja, se ele pode ser derivado de uma função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um campo conservativo. Um campo de velocidade é conservativo se existe uma função potencial
tal que:
Isso significa que as componentes do campo de velocidade são as derivadas parciais de
em relação às coordenadas
e
.
Passo 3
Para verificar se o campo é conservativo, uma condição importante é que a circulação do campo seja zero, o que matematicamente se traduz em:
Se essa igualdade for satisfeita, então o campo pode ter um potencial de velocidade.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais:
Primeiro, a componente
:
A derivada de
em relação a
é:
Agora, a componente
:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Agora, vamos substituir essas derivadas na condição:
Viu só? A diferença deu zero!
Passo 6
Isso significa que, independente do valor de
, a condição para o campo ser conservativo é satisfeita. Portanto, para qualquer valor de
, o campo de velocidade dado possui um potencial de velocidade.
Resposta
Para qualquer valor real de
, existe um potencial de velocidade para o campo de velocidade dado.