O sifão abaixo tem as seguintes caracteristicas: fator de atrito da tubulação f=0,020, diâmetro D=200 mm, comprimento total L=20 m e comprimento até o ponto mais alto LAB=8 m. Sabendo que a altura H 1=7,0 me a altura H 2=3,0 m, e considere as perdas de carga na entrada (Leq =3,5 m ) e na saída ( Leq =6,0 m )
b) Calcular a pressão no ponto mais alto;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre sifões que envolve conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente aplicando a Equação de Bernoulli com perdas de carga. Precisamos calcular a pressão no ponto mais alto do sifão. Para resolver isso, vamos precisar entender como a pressão, a velocidade e a altura interagem no fluxo do fluido, além de considerar as perdas de energia devido ao atrito na tubulação e nas entradas e saídas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Equação de Bernoulli, que é uma ferramenta fundamental na mecânica dos fluidos. Ela relaciona a pressão, a velocidade e a altura de um fluido em diferentes pontos ao longo de um fluxo, considerando também as perdas de energia.
A equação de Bernoulli com perdas de carga fica assim:
P1 + 12 rho v1^2 + rho g h1 = P2 + 12 rho v2^2 + rho g h2 + De
Onde:
  • $ P $ é a pressão
  • $ \rho $ é a densidade do fluido
  • $ v $ é a velocidade do fluido
  • $ g $ é a aceleração da gravidade
  • $ h $ é a altura
  • $ \Delta h_{perdas} $ são as perdas de carga totais

Passo 3

Vamos identificar os pontos que vamos usar na equação. Normalmente, escolhemos dois pontos ao longo do fluxo. Para esse problema, vamos considerar:
  • Ponto 1: A entrada do sifão, onde temos a altura $ H_1 = 7,0 , m $
  • Ponto 2: O ponto mais alto do sifão, onde queremos calcular a pressão, com altura $ H_2 = 3,0 , m $

Passo 4

Agora, vamos calcular as perdas de carga totais no sifão. As perdas de carga incluem:
  • Perdas por atrito na tubulação: Podemos usar a fórmula de Darcy-Weisbach:
    hf = f cdot LD cdot v^22g
    Onde $ f $ é o fator de atrito, $ L $ é o comprimento da tubulação, $ D $ é o diâmetro e $ v $ é a velocidade do fluido.
  • Perdas nas entradas e saídas: Já estão dadas no enunciado como $ Leq{entrada} = 3,5 , m $ e $ Leq{saída} = 6,0 , m $.
Então, as perdas totais serão a soma dessas perdas.

Passo 5

Vamos assumir que a velocidade do fluido é constante ao longo da tubulação ($ v_1 = v_2 = v $). Com isso, a área da tubulação não varia, então não há variação na velocidade. Isso simplifica nossos cálculos.
Primeiro, precisamos calcular a velocidade do fluido. Para isso, podemos rearranjar a Equação de Bernoulli para resolver em termos de $ v $.

Passo 6

Reorganizando a Equação de Bernoulli para isolar $ v^2 $, temos:
v^2
Simplificando:
rho g H1 = rho g H2 + 12 rho v^2 + De
Como $ \Delta h_{perdas} $ já está em metros de coluna d’água, podemos simplificar ainda mais:
g H1 = g H2 + 12 v^2 + De

Passo 7

Agora, vamos calcular as perdas de carga totais ($ \Delta h_{perdas} $):
Deí
Primeiro, calculamos as perdas por atrito usando Darcy-Weisbach:
De
Mas ainda não temos $ v $, então vamos deixar essa parte para depois e somar as perdas conhecidas:
hf = f cdot LD cdot v^22g

Passo 8

Substituindo $ \Delta h_{perdas} $ na equação anterior:
De
Calculando $ g (7,0 - 3,0) = 4g $:
g (7,0 - 3,0) = 12 v^2 + hf + 9,5
Agora, substituímos $ h_f $ pela expressão de Darcy-Weisbach:
g (7,0 - 3,0) = 4g

Passo 9

Vamos simplificar a equação. Primeiro, note que todas as velocidades estão ao quadrado, então podemos fatorar:
4g - 9,5 = ( 12 + f cdot LD cdot 12g ) v^2
Substituindo os valores conhecidos:
f = 0,020, L = 20, m, D = 0,200, m, g = 9,81, m/s^2
Vamos calcular o termo envolvendo $ h_f $:
hf
Então, a equação fica:
f cdot LD cdot 12g = 0,020 cdot 200,200 cdot 12 cdot 9,81 = 0,020 cdot 100 cdot 119,62 approx 0,020 cdot 5,103 = 0,102
Calculando o lado esquerdo:
4 cdot 9,81 - 9,5 = ( 0,5 + 0,102 ) v^2
E o lado direito:
39,24 - 9,5 = 29,74
Portanto:
0,602 v^2

Passo 10

Resolvendo para $ v^2 $:
v^2
Então:
v^2 = 29,740,602 approx 49,38

Passo 11

Agora que temos a velocidade $ v $, podemos calcular as perdas por atrito $ h_f $:
v
Substituindo os valores:
hf

Passo 12

Agora, vamos calcular a pressão no ponto mais alto. Usando a Equação de Bernoulli novamente:
Pa
Assumindo que a pressão na entrada $ P_{entrada} $ é a pressão atmosférica $ P_{atm} $, podemos rearranjar:
Pentrada
Mas já conhecemos todas as variáveis, exceto $ P_{alto} $.

Passo 13

Vamos calcular cada termo:
  • $ \rho $ (densidade da água) ≈ $ 1000, kg/m^3 $
  • $ g = 9,81, m/s^2 $
  • $ H_1 - H_2 = 4,0, m $
  • $ v = 7,03, m/s $
  • $ \Delta h_{perdas} = 5,034 + 9,5 = 14,534, m $
Substituindo na equação:
rho
Calculando cada parte:
  1. $ 1000 \cdot 9,81 \cdot 4,0 = 39.240, Pa $
  2. $ \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot 49,42 = 24.710, Pa $
  3. $ 1000 \cdot 9,81 \cdot 14,534 \approx 142.600, Pa $
Então:
1000, kg/m^3

Resposta

A pressão no ponto mais alto do sifão é 127.070 Pa abaixo da pressão atmosférica.

Exercícios relacionados