O sifão abaixo tem as seguintes caracteristicas: fator de atrito da tubulação
, diâmetro
, comprimento total
e comprimento até o ponto mais alto
. Sabendo que a altura
a altura
, e considere as perdas de carga na entrada (Leq
) e na saída ( Leq
)
b) Calcular a pressão no ponto mais alto;
b) Calcular a pressão no ponto mais alto;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre sifões que envolve conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente aplicando a Equação de Bernoulli com perdas de carga. Precisamos calcular a pressão no ponto mais alto do sifão. Para resolver isso, vamos precisar entender como a pressão, a velocidade e a altura interagem no fluxo do fluido, além de considerar as perdas de energia devido ao atrito na tubulação e nas entradas e saídas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Equação de Bernoulli, que é uma ferramenta fundamental na mecânica dos fluidos. Ela relaciona a pressão, a velocidade e a altura de um fluido em diferentes pontos ao longo de um fluxo, considerando também as perdas de energia.
A equação de Bernoulli com perdas de carga fica assim:
Onde:
- $ P $ é a pressão
- $ \rho $ é a densidade do fluido
- $ v $ é a velocidade do fluido
- $ g $ é a aceleração da gravidade
- $ h $ é a altura
- $ \Delta h_{perdas} $ são as perdas de carga totais
Passo 3
Vamos identificar os pontos que vamos usar na equação. Normalmente, escolhemos dois pontos ao longo do fluxo. Para esse problema, vamos considerar:
- Ponto 1: A entrada do sifão, onde temos a altura $ H_1 = 7,0 , m $
- Ponto 2: O ponto mais alto do sifão, onde queremos calcular a pressão, com altura $ H_2 = 3,0 , m $
Passo 4
Agora, vamos calcular as perdas de carga totais no sifão. As perdas de carga incluem:
-
Perdas por atrito na tubulação: Podemos usar a fórmula de Darcy-Weisbach:Onde $ f $ é o fator de atrito, $ L $ é o comprimento da tubulação, $ D $ é o diâmetro e $ v $ é a velocidade do fluido.
-
Perdas nas entradas e saídas: Já estão dadas no enunciado como $ Leq{entrada} = 3,5 , m $ e $ Leq{saída} = 6,0 , m $.
Então, as perdas totais serão a soma dessas perdas.
Passo 5
Vamos assumir que a velocidade do fluido é constante ao longo da tubulação ($ v_1 = v_2 = v $). Com isso, a área da tubulação não varia, então não há variação na velocidade. Isso simplifica nossos cálculos.
Primeiro, precisamos calcular a velocidade do fluido. Para isso, podemos rearranjar a Equação de Bernoulli para resolver em termos de $ v $.
Passo 6
Reorganizando a Equação de Bernoulli para isolar $ v^2 $, temos:
Simplificando:
Como $ \Delta h_{perdas} $ já está em metros de coluna d’água, podemos simplificar ainda mais:
Passo 7
Agora, vamos calcular as perdas de carga totais ($ \Delta h_{perdas} $):
Primeiro, calculamos as perdas por atrito usando Darcy-Weisbach:
Mas ainda não temos $ v $, então vamos deixar essa parte para depois e somar as perdas conhecidas:
Passo 8
Substituindo $ \Delta h_{perdas} $ na equação anterior:
Calculando $ g (7,0 - 3,0) = 4g $:
Agora, substituímos $ h_f $ pela expressão de Darcy-Weisbach:
Passo 9
Vamos simplificar a equação. Primeiro, note que todas as velocidades estão ao quadrado, então podemos fatorar:
Substituindo os valores conhecidos:
Vamos calcular o termo envolvendo $ h_f $:
Então, a equação fica:
Calculando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Portanto:
Passo 10
Resolvendo para $ v^2 $:
Então:
Passo 11
Agora que temos a velocidade $ v $, podemos calcular as perdas por atrito $ h_f $:
Substituindo os valores:
Passo 12
Agora, vamos calcular a pressão no ponto mais alto. Usando a Equação de Bernoulli novamente:
Assumindo que a pressão na entrada $ P_{entrada} $ é a pressão atmosférica $ P_{atm} $, podemos rearranjar:
Mas já conhecemos todas as variáveis, exceto $ P_{alto} $.
Passo 13
Vamos calcular cada termo:
- $ \rho $ (densidade da água) ≈ $ 1000, kg/m^3 $
- $ g = 9,81, m/s^2 $
- $ H_1 - H_2 = 4,0, m $
- $ v = 7,03, m/s $
- $ \Delta h_{perdas} = 5,034 + 9,5 = 14,534, m $
Substituindo na equação:
Calculando cada parte:
- $ 1000 \cdot 9,81 \cdot 4,0 = 39.240, Pa $
- $ \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot 49,42 = 24.710, Pa $
- $ 1000 \cdot 9,81 \cdot 14,534 \approx 142.600, Pa $
Então:
Resposta
A pressão no ponto mais alto do sifão é 127.070 Pa abaixo da pressão atmosférica.