Dado o seguinte campo de velocidade:
V=(a x i-a y j)(2+cos w t)
em que a=3 s^-1, w=pi s^-1 e x e y são dados em metros. Determine: a) A expressão algébrica da linha de corrente em t=0; b) faça um gráfico da linha de corrente que passa pelos pontos (x, y)=(2,4) em t=0. c) Essa linha de corrente irá mudar ao longo do tempo? Justifique.

Passo 1

Beleza, a questão é de dinâmica dos fluidos e pede pra gente achar a linha de corrente (streamline) num instante dado. O enunciado dá o campo de velocidade
V=(a x,i-a y,j)(2+cos omega t)
com dydx=v(x,y,t)u(x,y,t) e .
O que precisamos usar é a definição de linha de corrente num instante fixo : é a curva cuja tangente em cada ponto aponta na direção do vetor velocidade naquele instante. Em coordenadas isso vira a equação diferencial

Passo 2

Primeiro “tranca” V0 =3l(a x,i-a y,jr) =3a,x,i-3a,y,j . Aí u(x,y,0)=3a,x, v(x,y,0)=-3a,y , então o fator vira .
Logo, em
Ou seja

Passo 3

Agora escrevemos a ODE da linha de corrente em dydx =v(x,y,0)u(x,y,0) =-3a,y3a,x =-yx :
Perceba que o cancela, sobrando só .

Passo 4

Essa ODE é separável. A gente faz
dyy=-dxx,
integra dos dois lados:
integraldyy=-integraldxx Longrightarrow ln|y|=-ln|x|+C1 Longrightarrow ln|xy|=C1
Chamando xy=C, , vem
que é a família de linhas de corrente em .

Passo 5

Agora a linha que passa em 2cdot4=C Longrightarrow C=8 tem
xy=8 Longrightarrow y=8x
Logo a curva é

Passo 6

O gráfico de (ou ) é uma hipérbole no 1º e 3º quadrantes. Como a gente só cuida do ponto , desenhamos a parte no 1º quadrante, com assíntotas nos eixos e .

Passo 7

Será que essa linha muda com o tempo? A resposta é não, porque a equação diferencial não depende de : o fator só apareceu como multiplicador em e e cancelou no quociente. Então a forma da linha de corrente fica sempre a mesma, só a velocidade ao longo dela varia.

Resposta

a) A linha de corrente em xy=C é dada por
xy=8 l(,y=8/x,r),
b) A curva que passa por é
uma hipérbole no 1º quadrante.
c) Não muda no tempo, pois a razão é independente de .

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