Dado o seguinte campo de velocidade:
em que
e
e y são dados em metros. Determine: a) A expressão algébrica da linha de corrente em
; b) faça um gráfico da linha de corrente que passa pelos pontos
em
. c) Essa linha de corrente irá mudar ao longo do tempo? Justifique.
Passo 1
Beleza, a questão é de dinâmica dos fluidos e pede pra gente achar a linha de corrente (streamline) num instante dado. O enunciado dá o campo de velocidade
com
e
.
O que precisamos usar é a definição de linha de corrente num instante fixo : é a curva
cuja tangente em cada ponto aponta na direção do vetor velocidade naquele instante. Em coordenadas isso vira a equação diferencial
O que precisamos usar é a definição de linha de corrente num instante fixo
Passo 2
Primeiro “tranca”
. Aí
, então o fator
vira
.
Logo, em
Logo, em
Ou seja
Passo 3
Agora escrevemos a ODE da linha de corrente em
:
Perceba que o
cancela, sobrando só
.
Passo 4
Essa ODE é separável. A gente faz
integra dos dois lados:
Chamando
, vem
que é a família de linhas de corrente em
.
Passo 5
Agora a linha que passa em
tem
Logo a curva é
Passo 6
O gráfico de
(ou
) é uma hipérbole no 1º e 3º quadrantes. Como a gente só cuida do ponto
, desenhamos a parte no 1º quadrante, com assíntotas nos eixos
e
.
Passo 7
Será que essa linha muda com o tempo? A resposta é não, porque a equação diferencial
não depende de
: o fator
só apareceu como multiplicador em
e
e cancelou no quociente. Então a forma da linha de corrente fica sempre a mesma, só a velocidade ao longo dela varia.
Resposta
a) A linha de corrente em
é dada por
b) A curva que passa por
é
uma hipérbole no 1º quadrante.
c) Não muda no tempo, pois a razão é independente de
.
c) Não muda no tempo, pois a razão