1. Seja uma função f(x) definida sobre o seguinte conjunto de pontos:
x_{i} 0 0.6 1,6
y_{i} 0,2969 0,2725 0,2074
(a) Encontre o polinômio que interpola o conjunto de pontos através do método de Lagrange. Utilize arredondamento de 4 casas decimais.

Passo 1

O enunciado nos dá três pontos (peguei os números do enunciado) e pede o polinômio interpolador pelo método de Lagrange. Pontos fornecidos:
  • x_{0}=0, y_{0}=0,2969
  • x_{1}=0,6, y_{1}=0,2725
  • x_{2}=1,6, y_{2}=0,2074
O que precisamos entregar: o polinômio p(x) de grau \leq 2 que passa exatamente por esses três pontos, usando o método de Lagrange e arredondando a resposta com 4 casas decimais.

Passo 2

Relembrando a fórmula de Lagrange (aquela que monta uma combinação de bases que valem 1 num ponto e 0 nos outros): o polinômio interpolador é
p(x)=\sum_{j=0}^{2} y_{j}\,L_{j}(x),
onde cada polinômio base L_{j}(x) é dado por
L_{j}(x)=\prod_{\substack{m=0\m\neq j}}^{2}\frac{x-x_{m}}{x_{j}-x_{m}}.
Aqui x_{m} são os pontos dados e y_{j} os valores correspondentes. Em palavras: cada L_j é produto de duas frações que anulam nos outros pontos e valem 1 em x_j.

Passo 3

Vamos construir cada L_{j}(x) usando os x_i dados.
Para j=0 (com x_{0}=0):
L_{0}(x)=\frac{(x-x_{1})(x-x_{2})}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})} =\frac{(x-0,6)(x-1,6)}{(0-0,6)(0-1,6)}.
Calculemos o denominador:
(0-0,6)(0-1,6)=(-0,6)(-1,6)=0,96.
Portanto
L_{0}(x)=\frac{(x-0,6)(x-1,6)}{0,96}.
Para j=1 (com x_{1}=0,6):
L_{1}(x)=\frac{(x-x_{0})(x-x_{2})}{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})} =\frac{(x-0)(x-1,6)}{(0,6-0)(0,6-1,6)}.
O denominador é
(0,6)(-1,0)=-0,6.
Logo
L_{1}(x)=\frac{x(x-1,6)}{-0,6}.
Para j=2 (com x_{2}=1,6):
L_{2}(x)=\frac{(x-x_{0})(x-x_{1})}{(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})} =\frac{x(x-0,6)}{(1,6)(1,0)}.
O denominador é
1,6\cdot 1,0=1,6.
Portanto
L_{2}(x)=\frac{x(x-0,6)}{1,6}.

Passo 4

Expando os L_{j}(x) em forma polinomial (isso facilita somar tudo e obter ax^2+bx+c):
Primeiro expando os numeradores:
(x-0,6)(x-1,6)=x^{2}-2,2x+0,96.
Dividindo por 0,96:
L_{0}(x)=\frac{x^{2}-2,2x+0,96}{0,96} =\frac{1}{0,96}x^{2}-\frac{2,2}{0,96}x+1.
Observação útil: \dfrac{1}{0,96}=\dfrac{25}{24}\approx1,0416667 e \dfrac{2,2}{0,96}=\dfrac{55}{24}\approx2,2916667.
Para L_{1}:
x(x-1,6)=x^{2}-1,6x,
dividindo por -0,6:
L_{1}(x)=\frac{x^{2}-1,6x}{-0,6} =-\frac{1}{0,6}x^{2}+\frac{1,6}{0,6}x =-1,6666667\,x^{2}+2,6666667\,x.
Para L_{2}:
x(x-0,6)=x^{2}-0,6x,
dividindo por 1,6:
L_{2}(x)=\frac{x^{2}-0,6x}{1,6} =\frac{1}{1,6}x^{2}-\frac{0,6}{1,6}x =0,625\,x^{2}-0,375\,x.
Agora temos cada L_j como combinação de x^{2} e x (e constante no caso de L_0).

Passo 5

Formo p(x)=y_{0}L_{0}(x)+y_{1}L_{1}(x)+y_{2}L_{2}(x) e calculo coeficiente a frente de x^{2} (vou mostrar contribuição de cada termo):
Contribuições ao coeficiente de x^{2}:
  • de y_{0}L_{0}: y_{0}\cdot\dfrac{1}{0,96} = 0,2969\cdot\dfrac{1}{0,96}.
    Usando fração exata \dfrac{1}{0,96}=\dfrac{25}{24}, obtemos 0,2969\cdot\frac{25}{24}=\frac{0,2969\cdot25}{24}=\frac{7,4225}{24}=0,3092708333\ldots
  • de y_{1}L_{1}: y_{1}\cdot(-1,6666667)=0,2725\cdot(-1,6666667)=-0,4541666667\ldots
  • de y_{2}L_{2}: y_{2}\cdot 0,625=0,2074\cdot0,625=0,129625
Somando:
a=0,3092708333-0,4541666667+0,129625=-0,0152708334\ldots
Arredondando para 4 casas decimais: a=-0,0153.

Passo 6

Agora o coeficiente de x (mostrando contribuições):
Contribuições ao coeficiente de x:
  • de y_{0}L_{0}: y_{0}\cdot\left(-\frac{2,2}{0,96}\right)=0,2969\cdot(-2,2916666667)=-0,6803958333\ldots
    (usei \dfrac{2,2}{0,96}=\dfrac{55}{24})
  • de y_{1}L_{1}: y_{1}\cdot 2,6666667=0,2725\cdot2,6666667=0,7266666667\ldots
  • de y_{2}L_{2}: y_{2}\cdot(-0,375)=0,2074\cdot(-0,375)=-0,077775
Somando:
b=-0,6803958333+0,7266666667-0,077775=-0,0315041666\ldots
Arredondando para 4 casas decimais: b=-0,0315.

Passo 7

Coeficiente constante (termo independente): apenas y_{0} contribui porque L_{0} tem termo constante 1 e L_{1},L_{2} têm termo constante zero (são múltiplos de x). Assim
c=y_{0}=0,2969.
Como já tem 4 casas decimais, mantemos c=0,2969.

Passo 8

Juntando os coeficientes arredondados, o polinômio interpolador de grau 2, com arredondamento de 4 casas decimais nos coeficientes, é
p(x)=-0,0153\,x^{2}-0,0315\,x+0,2969.
Este polinômio passa (com precisão compatível ao arredondamento pedido) pelos pontos dados.

Resposta

p(x)=-0,0153\,x^{2}-0,0315\,x+0,2969

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