- Seja uma função
definida sobre o seguinte conjunto de pontos:
0
0.6
1,6
0,2969
0,2725
0,2074
(a) Encontre
polinômio que interpola o conjunto de pontos através do método de Lagrange. Utilize arredondamento de 4 casas decimais.
|
|
0 | 0.6 | 1,6 |
|
|
0,2969 | 0,2725 | 0,2074 |
Passo 1
O enunciado nos dá três pontos (peguei os números do enunciado) e pede o polinômio interpolador pelo método de Lagrange. Pontos fornecidos:
-
, -
, -
,
O que precisamos entregar: o polinômio
de grau
que passa exatamente por esses três pontos, usando o método de Lagrange e arredondando a resposta com 4 casas decimais.
Passo 2
Relembrando a fórmula de Lagrange (aquela que monta uma combinação de bases que valem 1 num ponto e 0 nos outros): o polinômio interpolador é
onde cada polinômio base
é dado por
Aqui
são os pontos dados e
os valores correspondentes. Em palavras: cada
é produto de duas frações que anulam nos outros pontos e valem 1 em
.
Passo 3
Vamos construir cada
usando os
dados.
Para
(com
):
Calculemos o denominador:
Portanto
Para
(com
):
O denominador é
Logo
Para
(com
):
O denominador é
Portanto
Passo 4
Expando os
em forma polinomial (isso facilita somar tudo e obter
):
Primeiro expando os numeradores:
Dividindo por
:
Observação útil:
e
.
Para
:
dividindo por
:
Para
:
dividindo por
:
Agora temos cada
como combinação de
e
(e constante no caso de
).
Passo 5
Formo
e calculo coeficiente a frente de
(vou mostrar contribuição de cada termo):
Contribuições ao coeficiente de
:
- de
: .
Usando fração exata, obtemos - de
: - de
:
Somando:
Arredondando para 4 casas decimais:
.
Passo 6
Agora o coeficiente de
(mostrando contribuições):
Contribuições ao coeficiente de
:
- de
:
(usei) - de
: - de
:
Somando:
Arredondando para 4 casas decimais:
.
Passo 7
Coeficiente constante (termo independente): apenas
contribui porque
tem termo constante 1 e
têm termo constante zero (são múltiplos de
). Assim
Como já tem 4 casas decimais, mantemos
.
Passo 8
Juntando os coeficientes arredondados, o polinômio interpolador de grau 2, com arredondamento de 4 casas decimais nos coeficientes, é
Este polinômio passa (com precisão compatível ao arredondamento pedido) pelos pontos dados.