Dado o seguinte conjunto de restrições:
cc x1+x2+x3 & =7 2 x1-5 x2+x3 & >= 10 x1, x2, x3 & >= 0
Resolva o PPL para cada uma das seguintes funções objetivos:
(a) max f(x)=2 x1+3 x2-5 x3

Passo 1

O enunciado define um problema de programação linear cujo objetivo é maximizar
f(x)=2x1+3x2-5x3
sujeito a
x1+x2+x3=7, 2x1-5x2+x3>=10, x1,x2,x3>=0
O conteúdo aqui é o Teorema dos Vértices em programação linear: a solução ótima ocorre num vértice do politopo factível. Vamos usar a igualdade para eliminar x3 e reduzir o problema a duas variáveis.

Passo 2

Da primeira restrição temos
x3=7 - x1-x2
Como x3>=0, segue
x1+x2<=7
Substituindo x3 na segunda restrição,
2x1-5x2+(7 - x1-x2)>=10
iff x1-6x2>=3
iff x1>=6x2+3
Além disso, x1>=0 e x2>=0.

Passo 3

O domínio factível no plano
Esse polígono tem três vértices relevantes:
  1. Interseção de .
  2. Interseção de com .
  3. Interseção de com resolve

Passo 4

Expressamos o objetivo em função de x1,x2:
f(x) =2x1+3x2-5(7 - x1-x2) =7x1+8x2-35
Avaliaremos em cada vértice:
(3,0):;f=7cdot3+8cdot0-35=-14,
(7,0):;f=7cdot7+8cdot0-35=14,
l(tfrac457,tfrac47r):; f=7cdottfrac457+8cdottfrac47-35 =45+tfrac327-35 =10+tfrac327 =tfrac1027approx14,57

Passo 5

O maior valor de f ocorre em l(x1,x2r)=l(tfrac457,tfrac47r). Então
x3=7 - x1-x2 =7-tfrac457-tfrac47 =0

Resposta

A solução ótima é
x1=tfrac457, x2=tfrac47, x3=0,
com valor máximo
fmax=tfrac1027approx14,57

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