A função de transferência de um filtro analógico passa-baixa com a frequência de corte de 1 \mathrm{rad} / \mathrm{s} é dada a seguir:
H_{p}(s)=\frac{1}{s+1}
Determine a função de transferência do filtro digital IIR utilizando o método BLT assumindo que a frequência de corte é 30 Hz e a frequência de amostragem é 200 Hz .

Passo 1

O enunciado nos dá um filtro analógico passa-baixa
H_{p}(s)=\frac{1}{s+1}
com frequência de corte normalizada em \omega_{c}=1 rad/s. Queremos projetar um filtro digital IIR via transformada bilinear (BLT) de modo que a nova frequência de corte seja f_c=30 Hz, com frequência de amostragem f_s=200 Hz. Para isso vamos:
  1. calcular o período de amostragem T e a frequência digital em rad/amostra;
  2. pré-distorcer (pré-warp) essa frequência para obter a frequência analógica equivalente \Omega_c;
  3. adaptar o protótipo analógico a 1/(\,s+\Omega_c);
  4. aplicar a BLT s\leftarrow\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}};
  5. simplificar e normalizar a função de transferência resultante.

Passo 2

Calculamos o período de amostragem e a frequência digital equivalente:
T=\frac{1}{f_s}=\frac{1}{200}\text{ s}, \quad \omega_d=\frac{2\pi\,f_c}{f_s}=\frac{2\pi\cdot30}{200}=0{,}3\pi\text{ rad/amostra}.

Passo 3

Usamos pré-distorção para achar a frequência analógica de corte \Omega_c:
\Omega_c=\frac{2}{T}\tan\bigl(\tfrac{\omega_d}{2}\bigr) =2\cdot200\;\tan\!\bigl(0{,}15\pi\bigr) =400\tan(27^\circ)\approx203{,}8\text{ rad/s}.

Passo 4

O protótipo escalado vira
H_a(s)=\frac{1}{s+\Omega_c}
e a BLT impõe
s=\frac{2}{T}\,\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}} =400\,\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}.
Logo
H(z) =H_a\Bigl(s\!\to\!400\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}\Bigr) =\frac{1}{\,400\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}+\Omega_c\,} =\frac{1+z^{-1}}{(400+\Omega_c)+( \Omega_c-400)\,z^{-1}}.

Passo 5

Normalizando o denominador para ter coeficiente líder igual a 1, definimos
b_0=b_1=\frac{1}{400+\Omega_c}, \quad a_1=\frac{\Omega_c-400}{\Omega_c+400}.
Substituindo \Omega_c\approx203{,}8 obtém-se
b_0=b_1=\frac{1}{603{,}8}\approx0{,}001656, \quad a_1=\frac{-196{,}2}{603{,}8}\approx-0{,}3249.

Resposta

H(z) =\frac{b_0 + b_1\,z^{-1}}{1 + a_1\,z^{-1}} =\frac{0{,}001656 + 0{,}001656\,z^{-1}}{1 - 0{,}3249\,z^{-1}}.

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