Dado a in R, seja fa: R backslash0 R dada por fa(x)=x^2+ax.
a) Determine a de modo que x=2 seja um ponto de mínimo local de fa.

Passo 1

O enunciado define a família de funções facolonRsetminus0toR por
fa(x)=x^2+ax
Queremos escolher a de forma que x=2 seja ponto de mínimo local. Para isso, usaremos o teste das derivadas: igualdade a zero da primeira derivada em x=2 e positividade da segunda derivada em x=2.

Passo 2

Calcular a primeira derivada de fa.
f'(x)=ddx!l(x^2+a,x^-1r) =2x - a,x^-2

Passo 3

Impor a condição necessária de extremum em x=2, ou seja, f'(2)=0.
f'(2)=2cdot 2 - a2^2 =4 - a4=0 Longrightarrow a=16

Passo 4

Verificar o sinal da segunda derivada em x=2 para confirmar mínimo. Primeiro obtemos
f''(x)=ddxl(2x - a,x^-2r) =2 + 2a,x^-3
Então
f''(2)=2 + 2a2^3 =2 + a4
Substituindo a=16:
f''(2)=2 + 164=2+4=6>0,
o que confirma que x=2 é um mínimo local.

Resposta

a=16.

Exercícios relacionados