Equação de Emden. Uma equação não linear clássica que ocorre no estudo de uma nuvem esférica é a equação de Emden
y^prime prime+2x y^prime+y^n=0
Com condições iniciais y(0)=1, y^prime(0)=0. Embora x=0 não seja um ponto ordinário para essa equação (que é não linear para n neq 1), acontece que existe uma solução analítica em x=0. Supondo que n é um inteiro positivo, mostre que os poucos primeiros termos de uma solução em série de potências são
y=1-x^23!+n x^45!+
[Dica: substitua y=1+c2 x^2+c3 x^3+c2 x^4+c3 x^3+cdots na equação e calcule cuidadosamente os primeiros termos na expansão para n].

Passo 1

Nesse exercício a gente precisa achar a solução em série de potências da equação de Emden
y'' + 2xy' + y^n = 0
com as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0. O conteúdo aqui é expansão em série de potências em torno de x=0 e uso da fórmula binomial para y^n.

Passo 2

Vamos supor uma expansão geral de y em potências de x:
y = c0 + c1 x + c2 x^2 + c3 x^3 + c4 x^4 + cdots
Como y(0)=1 temos c0=1. A condição y'(0)=0 implica c1=0. Além disso, pela simetria do problema, só aparecem termos de ordem par, então podemos definir y = 1 + c2 x^2 + c4 x^4 + cdots.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas e o termo 2/x,y':
y' = 2c2 x + 4c4 x^3 + cdots,
y'' = 2c2 + 12c4 x^2 + cdots,
2xy' = 2xl(2c2 x + 4c4 x^3 + cdotsr) = 4c2 + 8c4 x^2 + cdots
Somando temos
y'' + 2xy' = (2c2 + 4c2) + (12c4 + 8c4)x^2 + cdots = 6c2 + 20c4 x^2 + cdots

Passo 4

Para o termo y^n, usamos a expansão binomial em torno de 1:
y^n = (1 + c2 x^2 + c4 x^4 + cdots)^n = 1 + n,c2 x^2 + l(n,c4 + tfracn(n-1)2c2^2r)x^4 + cdots

Passo 5

Substituindo no lado esquerdo da equação de Emden e agrupando os termos até ordem x^2:
y'' + 2xy' + y^n = l(6c2 + 1r) + l(20c4 + n c2r)x^2 + cdots = 0

Passo 6

Igualando coeficientes a zero temos duas equações:
para x^0: 6c2 + 1 = 0 c2 = -tfrac16 = -tfrac13!,
para x^2: 20c4 + n c2 = 0 c4 = -tfracn c220 = tfracn120 = tfracn5!.
Com isso, os primeiros termos da solução são obtidos.

Passo 7

Resposta

y = 1 - x^23! + n,x^45! + cdots

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