Equação de Emden. Uma equação não linear clássica que ocorre no estudo de uma nuvem esférica é a equação de Emden
Com condições iniciais
. Embora
não seja um ponto ordinário para essa equação (que é não linear para
), acontece que existe uma solução analítica em
. Supondo que
é um inteiro positivo, mostre que os poucos primeiros termos de uma solução em série de potências são
[Dica: substitua
na equação e calcule cuidadosamente os primeiros termos na expansão para
].
Passo 1
Nesse exercício a gente precisa achar a solução em série de potências da equação de Emden
com as condições iniciais
Passo 2
Vamos supor uma expansão geral de
em potências de
:
Como
Passo 3
Agora calculamos as derivadas e o termo
:
Somando temos
Passo 4
Para o termo
, usamos a expansão binomial em torno de 1:
Passo 5
Substituindo no lado esquerdo da equação de Emden e agrupando os termos até ordem
:
Passo 6
Igualando coeficientes a zero temos duas equações:
para :
⇒
,
para :
⇒
.
Com isso, os primeiros termos da solução são obtidos.
para
para
Com isso, os primeiros termos da solução são obtidos.