Dado \sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}, \operatorname{com} 0<x<\frac{\pi}{2}, determine \sin (2 x), \cos (2 x) e \tan (2 x).

Passo 1

O enunciado dá as informações e pede claramente o seguinte:
  • Dado \sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} com 0<x<\dfrac{\pi}{2}.
  • Pedidos: calcular \sin(2x), \cos(2x) e \tan(2x).
Informações relevantes extraídas:
  • \sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • O intervalo 0<x<\dfrac{\pi}{2} indica que x está no primeiro quadrante (logo seno e cosseno de x são positivos).

Passo 2

Vamos encontrar \cos x a partir da identidade pitagórica. A identidade fundamental entre seno e cosseno é
\sin^{2}x+\cos^{2}x=1.
Nessa identidade, \sin^{2}x significa (\sin x)^{2} e \cos^{2}x significa (\cos x)^{2}. Substituindo \sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2} temos
\cos^{2}x = 1 - \sin^{2}x = 1 - \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} = 1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}.
Assim
\cos x = \pm \sqrt{\dfrac{1}{4}} = \pm \dfrac{1}{2}.
Escolhemos o sinal positivo porque x está no primeiro quadrante ( 0<x<\tfrac{\pi}{2}), onde o cosseno é positivo. Portanto
\cos x = \dfrac{1}{2}.

Passo 3

Agora derivamos e usamos a fórmula do ângulo duplo para o seno. A fórmula de adição é
\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b.
Tomando a=b=x obtemos a fórmula do ângulo duplo:
\sin(2x)=2\sin x\cos x.
Substituindo os valores encontrados:
\sin(2x)=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2}.
Faço a simplificação passo a passo:
2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3},\qquad \sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Logo
\sin(2x)=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Para \cos(2x) usamos a fórmula de adição para o cosseno:
\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b,
tomando a=b=x dá a identidade do ângulo duplo
\cos(2x)=\cos^{2}x-\sin^{2}x.
Substituindo \cos^{2}x=\dfrac{1}{4} e \sin^{2}x=\dfrac{3}{4},
\cos(2x)=\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{1}{2}.
(Observação alternativa: também poderia usar \cos(2x)=1-2\sin^{2}x, que dá o mesmo resultado.)

Passo 5

Para \tan(2x) usamos a definição de tangente e a razão entre seno e cosseno:
\tan(2x)=\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}.
Usando os valores que já temos,
\tan(2x)=\frac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{-\dfrac{1}{2}}.
Simplificando a divisão de frações:
\tan(2x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\left(-\frac{2}{1}\right)=-\sqrt{3}.
(Como checagem rápida: \sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2} corresponde a x=\dfrac{\pi}{3}; então 2x=\dfrac{2\pi}{3} e \sin\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \cos\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}, \tan\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=-\sqrt{3}, confirmando os resultados.)

Resposta

\sin(2x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
\cos(2x)=-\dfrac{1}{2}
\tan(2x)=-\sqrt{3}

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