Dado
,
, determine
e
.
Passo 1
O enunciado dá as informações e pede claramente o seguinte:
- Dado
com . - Pedidos: calcular
, e .
Informações relevantes extraídas:
-
. - O intervalo
indica que está no primeiro quadrante (logo seno e cosseno de são positivos).
Passo 2
Vamos encontrar
a partir da identidade pitagórica. A identidade fundamental entre seno e cosseno é
Nessa identidade,
significa
e
significa
. Substituindo
temos
Assim
Escolhemos o sinal positivo porque
está no primeiro quadrante (
), onde o cosseno é positivo. Portanto
Passo 3
Agora derivamos e usamos a fórmula do ângulo duplo para o seno. A fórmula de adição é
Tomando
obtemos a fórmula do ângulo duplo:
Substituindo os valores encontrados:
Faço a simplificação passo a passo:
Logo
Passo 4
Para
usamos a fórmula de adição para o cosseno:
tomando
dá a identidade do ângulo duplo
Substituindo
e
,
(Observação alternativa: também poderia usar
, que dá o mesmo resultado.)
Passo 5
Para
usamos a definição de tangente e a razão entre seno e cosseno:
Usando os valores que já temos,
Simplificando a divisão de frações:
(Como checagem rápida:
corresponde a
; então
e
,
,
, confirmando os resultados.)