Sabendo que
, determine o valor de
.
Passo 1
O enunciado dá a informação
e pede para determinar o valor de
Informações relevantes que temos já anotadas: a soma de
e
vale
. A incógnita que queremos é a função trigonométrica de ângulo duplo
.
Passo 2
Lembrete útil (identidade que vamos usar): a fórmula do ângulo duplo para o seno é
Explicando essa identidade de forma rápida e intuitiva:
. Pela fórmula de soma de senos,
Aqui
e
são os valores do seno e do cosseno do mesmo ângulo
; multiplicá-los e dobrar dá
.
Passo 3
Para obter
a partir da informação dada, vamos elevar ao quadrado a igualdade fornecida. Usamos a identidade algebricamente simples
Aplicando com
e
, obtemos
Como
, o lado esquerdo vale
. Portanto
Passo 4
Agora use a identidade pitagórica básica do seno e cosseno:
Substituindo isso na equação do passo anterior ficamos com
Expliquei: o termo
torna-se
, sobrando apenas
para isolar.
Passo 5
Isolando
na igualdade do passo anterior:
Mas pelo passo 2 sabemos que
. Portanto
Passo 6
Verificação rápida (opcional, para dar confiança): podemos também escrever
. Daí
. Tomando um dos ângulos que dá esse seno e calculando
numericamente obtém-se aproximadamente
, consistente com o resultado exato acima. Isso mostra que os passos algébricos não introduziram erro no valor de
.