Sabendo que \sin x+\cos x=0,2, determine o valor de \sin (2 x).

Passo 1

O enunciado dá a informação
\sin x + \cos x = 0,2
e pede para determinar o valor de
\sin(2x).
Informações relevantes que temos já anotadas: a soma de \sin x e \cos x vale 0,2. A incógnita que queremos é a função trigonométrica de ângulo duplo \sin(2x).

Passo 2

Lembrete útil (identidade que vamos usar): a fórmula do ângulo duplo para o seno é
\sin(2x)=2\sin x\cos x.
Explicando essa identidade de forma rápida e intuitiva: \sin(2x)=\sin(x+x). Pela fórmula de soma de senos,
\sin(x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x.
Aqui \sin x e \cos x são os valores do seno e do cosseno do mesmo ângulo x; multiplicá-los e dobrar dá \sin(2x).

Passo 3

Para obter 2\sin x\cos x a partir da informação dada, vamos elevar ao quadrado a igualdade fornecida. Usamos a identidade algebricamente simples
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.
Aplicando com a=\sin x e b=\cos x, obtemos
(\sin x+\cos x)^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x.
Como \sin x+\cos x=0,2, o lado esquerdo vale (0,2)^2=0,04. Portanto
\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x=0,04.

Passo 4

Agora use a identidade pitagórica básica do seno e cosseno:
\sin^2 x+\cos^2 x=1.
Substituindo isso na equação do passo anterior ficamos com
1 + 2\sin x\cos x = 0,04.
Expliquei: o termo \sin^2 x+\cos^2 x torna-se 1, sobrando apenas 2\sin x\cos x para isolar.

Passo 5

Isolando 2\sin x\cos x na igualdade do passo anterior:
2\sin x\cos x = 0,04 - 1 = -0,96.
Mas pelo passo 2 sabemos que 2\sin x\cos x=\sin(2x). Portanto
\sin(2x) = -0,96.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, para dar confiança): podemos também escrever \sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\!\bigl(x+\tfrac{\pi}{4}\bigr). Daí \sin\!\bigl(x+\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\dfrac{0,2}{\sqrt{2}}\approx0,14142. Tomando um dos ângulos que dá esse seno e calculando \sin(2x) numericamente obtém-se aproximadamente -0,96, consistente com o resultado exato acima. Isso mostra que os passos algébricos não introduziram erro no valor de \sin(2x).

Resposta

\sin(2x)=-0,96

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