Determine os valores de \tan x, \cot x, \operatorname{sec} x e \csc x, sabendo que \cos x=\frac{4}{5} e que o ângulo encontra-se no 1^{\circ} quadrante.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (resumindo direitinho):
  • Dado: \cos x=\frac{4}{5}.
  • Informação extra: o ângulo x está no 1^{\circ} quadrante (ou seja, primeiro quadrante).
  • Pedido: determinar \tan x, \cot x, \operatorname{sec} x e \csc x.
Vou usar apenas as relações fundamentais entre as funções trigonométricas e escolher o sinal das raízes com base no quadrante (no 1.º quadrante todas as razões seno, cosseno e tangente são positivas).

Passo 2

Encontrar \sin x a partir da identidade pitagórica. A identidade é
\sin^{2}x+\cos^{2}x=1,
onde \sin^{2}x significa (\sin x)^{2} e \cos^{2}x significa (\cos x)^{2}.
Substituindo \cos x=\frac{4}{5} obtemos:
\sin^{2}x = 1 - \cos^{2}x = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^{2} = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}.
Agora extraímos a raiz quadrada. Como x está no primeiro quadrante, \sin x é positivo, então
\sin x = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}.

Passo 3

Calcular \tan x. Definição: a tangente é a razão entre seno e cosseno,
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}.
Substituindo os valores que temos:
\tan x = \frac{\tfrac{3}{5}}{\tfrac{4}{5}} = \frac{3}{5}\cdot\frac{5}{4} = \frac{3}{4}.
Interpretação prática: \tan x é \dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} no triângulo retângulo associado; aqui isso dá \tfrac{3}{4}.

Passo 4

Calcular \cot x. A cotangente é o recíproco da tangente, ou seja
\cot x = \frac{1}{\tan x}.
Como \tan x=\frac{3}{4}, temos
\cot x = \frac{1}{\tfrac{3}{4}} = \frac{4}{3}.
Também poderia calcular como \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}=\dfrac{4/5}{3/5}=\dfrac{4}{3}.

Passo 5

Calcular \operatorname{sec} x. A secante é o recíproco do cosseno:
\operatorname{sec} x = \frac{1}{\cos x}.
Como \cos x=\frac{4}{5}, temos
\operatorname{sec} x = \frac{1}{\tfrac{4}{5}} = \frac{5}{4}.

Passo 6

Calcular \csc x. A cossecante é o recíproco do seno:
\csc x = \frac{1}{\sin x}.
Como \sin x=\frac{3}{5}, então
\csc x = \frac{1}{\tfrac{3}{5}} = \frac{5}{3}.

Resposta

\tan x=\frac{3}{4}
\cot x=\frac{4}{3}
\operatorname{sec} x=\frac{5}{4}
\csc x=\frac{5}{3}

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