Determine o valor de
Passo 1
O enunciado pede calcular o valor da expressão
Dados importantes: o ângulo envolvido é
) e a operação é soma de seno e cosseno do mesmo ângulo. O objetivo é encontrar um valor numérico exato (sem calculadora).
Passo 2
Uma técnica muito útil é transformar a soma
numa única função seno com amplitude ajustada. Ou seja, escrever
onde
é a amplitude e
é uma fase. Vou mostrar como determinar
e
.
Passo 3
Desenvolvendo o lado direito com a fórmula de seno da soma:
Para essa igualdade ser verdadeira para todo
precisamos que os coeficientes de
e
coincidam com os do lado esquerdo (que são ambos 1). Portanto devemos ter o sistema
Elevando ao quadrado e somando as duas equações:
ou seja
Como
, segue que
Para
dividimos as duas equações:
logo (no primeiro quadrante, já que
e
são positivos)
.
Passo 4
Concluímos a identidade útil:
Essa fórmula é prática na prova porque converte a soma em um único seno com amplitude
.
Passo 5
Aplicando a identidade com
:
Passo 6
Avaliar
. Usando a relação de suplementares:
Portanto