Determine o valor de
A=\sin \left(105^{\circ}\right)+\cos \left(105^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o valor da expressão
A=\sin\left(105^\circ\right)+\cos\left(105^\circ\right).
Dados importantes: o ângulo envolvido é \(105^\circ) e a operação é soma de seno e cosseno do mesmo ângulo. O objetivo é encontrar um valor numérico exato (sem calculadora).

Passo 2

Uma técnica muito útil é transformar a soma \sin x+\cos x numa única função seno com amplitude ajustada. Ou seja, escrever
\sin x+\cos x = R\sin(x+\varphi),
onde R>0 é a amplitude e \varphi é uma fase. Vou mostrar como determinar R e \varphi.

Passo 3

Desenvolvendo o lado direito com a fórmula de seno da soma:
R\sin(x+\varphi)=R\big(\sin x\cos\varphi+\cos x\sin\varphi\big).
Para essa igualdade ser verdadeira para todo x precisamos que os coeficientes de \sin x e \cos x coincidam com os do lado esquerdo (que são ambos 1). Portanto devemos ter o sistema
R\cos\varphi = 1,\qquad R\sin\varphi = 1.
Elevando ao quadrado e somando as duas equações:
R^2\cos^2\varphi + R^2\sin^2\varphi = 1^2+1^2 = 2,
ou seja
R^2(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)=2 \quad\Rightarrow\quad R^2=2.
Como R>0, segue que
R=\sqrt{2}.
Para \varphi dividimos as duas equações:
\tan\varphi=\frac{R\sin\varphi}{R\cos\varphi}=\frac{1}{1}=1,
logo (no primeiro quadrante, já que \cos\varphi e \sin\varphi são positivos) \varphi=45^\circ.

Passo 4

Concluímos a identidade útil:
\sin x+\cos x = \sqrt{2}\,\sin\bigl(x+45^\circ\bigr).
Essa fórmula é prática na prova porque converte a soma em um único seno com amplitude \sqrt{2}.

Passo 5

Aplicando a identidade com x=105^\circ:
A=\sin\left(105^\circ\right)+\cos\left(105^\circ\right)=\sqrt{2}\,\sin\bigl(105^\circ+45^\circ\bigr)=\sqrt{2}\,\sin\left(150^\circ\right).

Passo 6

Avaliar \sin\left(150^\circ\right). Usando a relação de suplementares:
\sin\left(150^\circ\right)=\sin\bigl(180^\circ-30^\circ\bigr)=\sin\left(30^\circ\right)=\tfrac{1}{2}.
Portanto
A=\sqrt{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}.

Resposta

\tfrac{\sqrt{2}}{2}

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