Sabendo que
, calcule
.
Passo 1
O enunciado dá a informação
e pede para calcular
. Vou listar claramente o que temos e o que se pede:
- Dado:
. - Pedido:
.
Passo 2
Lembrete útil (fórmula que vamos usar). A fórmula da tangente da soma de dois ângulos é
Essa fórmula vem da razão entre as fórmulas de seno e cosseno para soma de ângulos (posso derivar se quiseres), mas aqui vamos usá-la diretamente.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso
(ou seja, somando
) obtemos a fórmula do ângulo duplo para a tangente:
Explico: substitui-se
e
na fórmula da soma; no numerador fica
e no denominador
.
Passo 4
Agora vamos usar o valor dado
na fórmula do passo anterior. Substituindo,
Passo 5
Calculemos numerador e denominador:
- Numerador:
. - Denominador:
.
Portanto
Passo 6
Verificação alternativa (opcional, para entender melhor): podemos recuperar seno e cosseno relativos a
a partir de
. Pense numa razão em um triângulo retângulo com cateto oposto
e adjacente
; a hipotenusa é
. Assim
Usando
e
obtemos
Então
o que confirma o resultado anterior.