Sabendo que \tan x=2, calcule \tan (2 x).

Passo 1

O enunciado dá a informação \tan x = 2 e pede para calcular \tan(2x). Vou listar claramente o que temos e o que se pede:
  • Dado: \tan x = 2.
  • Pedido: \tan(2x).

Passo 2

Lembrete útil (fórmula que vamos usar). A fórmula da tangente da soma de dois ângulos é
\tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\,\tan b}.
Essa fórmula vem da razão entre as fórmulas de seno e cosseno para soma de ângulos (posso derivar se quiseres), mas aqui vamos usá-la diretamente.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso a=b=x (ou seja, somando x+x=2x) obtemos a fórmula do ângulo duplo para a tangente:
\tan(2x)=\frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}.
Explico: substitui-se \tan a=\tan x e \tan b=\tan x na fórmula da soma; no numerador fica \tan x+\tan x=2\tan x e no denominador 1-\tan x\cdot\tan x=1-\tan^2 x.

Passo 4

Agora vamos usar o valor dado \tan x = 2 na fórmula do passo anterior. Substituindo,
\tan(2x)=\frac{2\cdot 2}{1-(2)^2}.

Passo 5

Calculemos numerador e denominador:
  • Numerador: 2\cdot 2 = 4.
  • Denominador: 1-(2)^2 = 1-4 = -3.
Portanto
\tan(2x)=\frac{4}{-3}=-\frac{4}{3}.

Passo 6

Verificação alternativa (opcional, para entender melhor): podemos recuperar seno e cosseno relativos a x a partir de \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=2. Pense numa razão em um triângulo retângulo com cateto oposto 2 e adjacente 1; a hipotenusa é \sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}. Assim
\sin x=\frac{2}{\sqrt{5}},\qquad \cos x=\frac{1}{\sqrt{5}}.
Usando \sin 2x=2\sin x\cos x e \cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x obtemos
\sin 2x = 2\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{4}{5}, \qquad \cos 2x = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2-\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2=\frac{1-4}{5}=-\frac{3}{5}.
Então
\tan(2x)=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=\frac{4/5}{-3/5}=-\frac{4}{3},
o que confirma o resultado anterior.

Resposta

-\dfrac{4}{3}

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