Dado o sistema
lll x1 & -4 x2 & -x3=-8 7 x1 & -2 x2 & +4 x3=-15 9 x1 & +3 x2 & -3 x3=0
Caso a matriz A seja invertível, justifique porque A é invertível.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
x1-4x2-x3=-8, 7x1-2x2+4x3=-15, 9x1+3x2-3x3=0,
cuja matriz de coeficientes é
A= 1 & -4 & -1 7 & -2 & 4 9 & 3 & -3
Para justificar que A é invertível, vamos usar o fato de que uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante é diferente de zero.

Passo 2

Escrevemos o determinante de A por expansão de Laplace ao longo da primeira linha:
det(A) =1cdotdet-2 & 43 & -3 -(-4)cdotdet7 & 49 & -3 +(-1)cdotdet7 & -29 & 3

Passo 3

Agora calculamos cada menor:
det-2 & 43 & -3 =(-2)(-3)-4cdot3=-6,
det7 & 49 & -3 =7cdot(-3)-4cdot9=-21-36=-57,
det7 & -29 & 3 =7cdot3-(-2)cdot9=21+18=39
Substituindo,
det(A) =1cdot(-6)-(-4)cdot(-57)+(-1)cdot39 =-6-228-39=-273

Passo 4

Como obtivemos det(A)=-273neq0, pelo teorema da matriz invertível concluímos que A é invertível.

Resposta

A é invertível porque det(A)=-273neq0.

Exercícios relacionados