Seja a=w1=(c1 -1 0 1), w2=(c2 -1 0 0), w3=(c1 0 -2 1), w4=(c2 -1 -2 2) subset Re^4 ;
Encontrar uma base do Subespaço Vetorial W gerado pelos vetores de alpha;

Passo 1

O enunciado pede uma base do subespaço WsubsetR^4 gerado pelos vetores
w1=1-101, w2=2-100, w3=10-21, w4=2-1-22
O conteúdo aqui é ver quais desses vetores são linearmente independentes e eliminar os redundantes para obter uma base.

Passo 2

Para ver se algum vetor é combinação linear dos outros, observamos coordenada a coordenada. Note que
w1+w3 =1-101 +10-21 =2-1-22 =w4
Logo w4 é combinação de w1 e w3 e, portanto, não é necessário para gerar W.

Passo 3

Ficamos com os vetores w1,w2,w3. Agora verificamos que eles são independentes lineares, ou seja, se
c1w1+c2w2+c3w3=0
então c1=c2=c3=0. Escrevendo coordenada a coordenada:
1 ^a: c1+2c2+c3=0,
2 ^a: -c1-c2=0,
3 ^a: -2c3=0,
4 ^a: c1+c3=0.
Da 3 ^a vem c3=0; da 2 ^a segue c1=-c2; da 4 ^a c1=0 e então c2=0. Logo são independentes.

Passo 4

Concluímos que w1,w2,w3 é um conjunto gerador de W e que é linearmente independente, logo forma uma base de W.

Resposta

Uma base de W é 1-101, 2-100, 10-21 é

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