Seja
Encontrar uma base do Subespaço Vetorial W gerado pelos vetores de alpha;
Passo 1
O enunciado pede uma base do subespaço WsubsetR^4 gerado pelos vetores
w1=1-101, w2=2-100, w3=10-21, w4=2-1-22
O conteúdo aqui é ver quais desses vetores são linearmente independentes e eliminar os redundantes para obter uma base.
Passo 2
Para ver se algum vetor é combinação linear dos outros, observamos coordenada a coordenada. Note que
w1+w3 =1-101 +10-21 =2-1-22 =w4
Logo w4 é combinação de w1 e w3 e, portanto, não é necessário para gerar W.
Passo 3
Ficamos com os vetores w1,w2,w3. Agora verificamos que eles são independentes lineares, ou seja, se
c1w1+c2w2+c3w3=0
então c1=c2=c3=0. Escrevendo coordenada a coordenada:
1^a: c1+2c2+c3=0,
2^a: -c1-c2=0,
3^a: -2c3=0,
4^a: c1+c3=0.
Da 3^a vem c3=0; da 2^a segue c1=-c2; da 4^a dá c1=0 e então c2=0. Logo são independentes.
Passo 4
Concluímos que w1,w2,w3 é um conjunto gerador de W e que é linearmente independente, logo forma uma base de W.