Verdadeiro ou Falso? Justifique:
Se A é 5 times 3 de posto 3 , então A^T A é invertível?

Passo 1

O enunciado pergunta se, para uma matriz A de tamanho 5times3 com posto igual a 3, a matriz ,A^T A é invertível.
Conteúdo: Álgebra linear — relação entre posto de A, independência de colunas e invertibilidade de A^T A.
O que vamos usar:
  1. Se rank(A)=3 e A é 5times3, então suas três colunas são linearmente independentes.
  2. Uma matriz simétrica quadrada M é invertível se e somente se ker(M)=0.
  3. Para M=A^T A, tem-se
x^T(A^T A)x = (Ax)^T(Ax) = |Ax|^2

Passo 2

Como rank(A)=3 e o número de colunas de A também é 3, concluímos que as colunas de A são linearmente independentes. Em outras palavras,
Ax=0Longrightarrow x=0

Passo 3

Para mostrar que ,A^T A é invertível, basta provar que seu núcleo é trivial. Sejam xinR^3 e suponha
A^T A,x = 0
Multiplicando à esquerda por x^T, obtemos
x^T(A^T A)x = 0 Longrightarrow |Ax|^2 = 0 Longrightarrow Ax = 0
Pela independência de colunas de A, isso implica x=0. Logo ker(A^T A)=0.

Passo 4

Como ker(A^T A)=0, a matriz A^T A é injetora e, sendo quadrada ( 3times3), é invertível.

Resposta

Verdadeiro.

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