Verdadeiro ou Falso? Justifique:
Se
é
de posto 3 , então
é invertível?
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se, para uma matriz
de tamanho
com posto igual a
, a matriz
é invertível.
Conteúdo: Álgebra linear — relação entre posto de , independência de colunas e invertibilidade de
.
O que vamos usar:
Conteúdo: Álgebra linear — relação entre posto de
O que vamos usar:
- Se
e é , então suas três colunas são linearmente independentes. - Uma matriz simétrica quadrada
é invertível se e somente se . - Para
, tem-se
Passo 2
Como
e o número de colunas de
também é 3, concluímos que as colunas de
são linearmente independentes. Em outras palavras,
Passo 3
Para mostrar que
é invertível, basta provar que seu núcleo é trivial. Sejam
e suponha
Multiplicando à esquerda por
, obtemos
Pela independência de colunas de
, isso implica
. Logo
.
Passo 4
Como
, a matriz
é injetora e, sendo quadrada (
), é invertível.
Resposta
Verdadeiro.