Dado o sistema de equações algébricas apresentado em seguida
Determine:
4.1 As matrizes fatores
L e
U e a solução do problema;
4.1 As matrizes fatores
Passo 1
O sistema dado é
com
AinR^10times10 ,
onde cada bloco é de ordem
5 . Em particular
e
O conteúdo é fatoração LU sem pivotamento; vamos usar eliminação de Gauss em bloco.]
Passo 2
Primeiro fatoramos o bloco
B em
B=Lb,Ub por eliminação simples. Como
B é quase triangular, a única operação não trivial é eliminar o elemento
(4,3) .
- Pivot em
eliminab33=70 comb43=1
- Atualizamos a linha
de4 :B
Assim
Passo 3
A matriz
A admite a fatoração em bloco
onde o bloco de Schur é
Note que
L e
U são triangulares inferiores e superiores de ordem
10 , respectivamente.
Passo 4
Para resolver
, isto é
com (x=(y,z)^{T}].
Como
e
são triangulares, as substituições são diretas e cada inversão de
ou
pode ser feita por retro– ou ante– substituição.
Passo 5
Numericamente, implementando este algoritmo num software (MATLAB, Python, etc.), obtém– se a solução
Resposta
L e U em blocos:
com
Lb,Ub dados no Passo
2 e
S=B+C^TB^-1C .
Solução