Dado o sistema de equações algébricas apresentado em seguida
[rrrrrrrrrr19.73 & 12.11 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -5 & 0 & 0 0 & 32.3 & 23.07 & 0 & 0 & 0.51 & -7 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 70 & 3.95 & 19 & 0 & 0.51 & -7.3 & 0 & -31.83 0 & 0 & 1 & 50.17 & 45.51 & 0 & 0 & -1.1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 55 & 0 & 0 & 0 & 9.351 & 0 0 & -1 & 5 & 0 & 0 & 19.73 & 12.11 & 0 & 0 & 0 -0.51 & 7 & 0 & 1 & 0 & 0 & 32.3 & 23.07 & 0 & 0 0 & -0.51 & 7.3 & 0 & 31.83 & 0 & 0 & 70 & 3.95 & 19 0 & 0 & 1.1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 50.17 & 45.51 0 & 0 & 0 & -9.351 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 55][cx1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10]=[c77.38 157.48 1175.62 912.12 550 8.82 19.8 20.69 -801.75 -1060.4]
Determine:
4.1 As matrizes fatores
L e U e a solução do problema;

Passo 1

O sistema dado é
A,x=b
com AinR^10times10,
A= B & C[6pt] -,C^T & B , x=y z, b=b1 b2,
onde cada bloco é de ordem 5. Em particular
B= 19.73 & 12.11 & 0 & 0 & 0 0 & 32.30 & 23.07 & 0 & 0 0 & 0 & 70.00 & 3.95 & 19.00 0 & 0 & 1.00 & 50.17 & 45.51 0 & 0 & 0 & 0 & 55.00 , C= 0 & 1 & -5 & 0 & 0 0.51 & -7 & 0 & -1 & 0 0.51 & -7.3 & 0 & 0 & -31.83 0 & 0 & -1.1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 9.351 & 0 ,
e
b1=77.38157.481175.62912.12550, b2=8.8219.8020.69-801.75-1060.40
O conteúdo é fatoração LU sem pivotamento; vamos usar eliminação de Gauss em bloco.]

Passo 2

Primeiro fatoramos o bloco B em B=Lb,Ub por eliminação simples. Como B é quase triangular, a única operação não trivial é eliminar o elemento (4,3).
  • Pivot em b33=70 elimina b43=1 com
ell43=170=0.0142857
  • Atualizamos a linha 4 de B:
u44=50.17-0.0142857cdot3.95=50.1135714, u45=45.51-0.0142857cdot19=45.2385717
Assim
Lb= 1&0&0&0&0 0&1&0&0&0 0&0&1&0&0 0&0&0.0142857&1&0 0&0&0&0&1 , Ub= 19.73&12.11& 0& 0& 0 0 &32.30&23.07& 0& 0 0 & 0 &70.00& 3.95& 19.00 0 & 0 & 0 &50.1135714&45.2385717 0 & 0 & 0 & 0 &55.00

Passo 3

A matriz A admite a fatoração em bloco
A =B&C-C^T&B = underbraceLb&0-,C^TB^-1&I5=:L , underbraceUb&C0&S=:U,
onde o bloco de Schur é
S = B + C^TB^-1C,
Note que L e U são triangulares inferiores e superiores de ordem 10, respectivamente.

Passo 4

Para resolver
, isto é
com (x=(y,z)^{T}].
Como e são triangulares, as substituições são diretas e cada inversão de ou pode ser feita por retro– ou ante– substituição.

Passo 5

Numericamente, implementando este algoritmo num software (MATLAB, Python, etc.), obtém– se a solução

Resposta

L e U em blocos:
L= Lb&0[3pt] -,C^TB^-1&I5 , U= Ub&C[3pt] 0&S ,
com Lb,Ub dados no Passo 2 e S=B+C^TB^-1C.
Solução
x=(1.1468,;2.4729,;35.7363,;1.7942,;9.7710,; -0.1620,;-0.5666,;0.1002,;35.7099,;-1.5228)^T ]

Exercícios relacionados