As matrizes fatores Q (matriz ortogonal) e R (matriz triangular superior) resultantes da fatoração Q R de uma matriz de coeficientes aumentada A aug são apresentadas abaixo. Determine:
2.1 A matriz de coeficientes e o vetor do lado direito do sistema de equações algébricas lineares;
2.2 O vetor solução do sistema de equações algébricas correspondente.
Q=[rrrr -0.80178 & 0.57735 & 0.15430 -0.53452 & -0.57735 & -0.61721 -0.26726 & -0.57735 & 0.77152 ], R aug =[rrrrr -3.74166 & -3.74166 & -2.13809 & vdots & -56.39212 0.00000 & -1.73205 & -1.73205 & vdots & -12.12436 0.00000 & 0.00000 & 1.85164 & vdots & 5.09201 ]

Passo 1

O enunciado nos dá a fatoração da matriz aumentada Aaug=[ Amid b] na forma
Aaug = Q , Raug,
onde Q é ortogonal e Raug é triangular superior (com a última coluna sendo a parte do vetor b projetada). O objetivo é (i) recuperar A e b originais e (ii) resolver o sistema A, x= b. Vamos usar que
A = Q;l(primeiras 3 colunas de Raugr), b = Q;l(ú<ima coluna de Raugr), ú
e em seguida resolver por substituição regressiva o sistema triangular R, x= c, onde c é a última coluna de Raug.

Passo 2

Extraímos de Raug as duas partes:
R = -3.74166 & -3.74166 & -2.13809 0 & -1.73205 & -1.73205 0 & 0 & 1.85164 , c = -56.39212 -12.12436 5.09201
Calculando
A = Q, R ;=; 3 & 2 & 1 2 & 3 & 1 1 & 2 & 3 , b = Q, c ;=; 39 34 26

Passo 3

Para obter x resolvemos o sistema triangular R,x=c, ou seja
-3.74166,x1 ;-;3.74166,x2;-;2.13809,x3 = -56.39212,[6pt] -1.73205,x2 ;-;1.73205,x3 = -12.12436,[6pt] 1.85164,x3 = 5.09201
Da terceira equação:
x3 = 5.092011.85164 = 2,75
Da segunda equação:
-1.73205,x2 -1.73205cdot2,75 = -12.12436 ;Longrightarrow; x2 = 4,25
Da primeira equação:
-3.74166,x1 -3.74166cdot4,25 -2.13809cdot2,75 = -56.39212 ;Longrightarrow; x1 = 9,25 ]

Resposta

2.1 A = 3&2&12&3&11&2&3,
b = 393426 2.2 x = 9,254,252,75.

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