Obtenha a solução do sistema de equações algébricas lineares mostrado abaixo de acordo com o método de Rotações de Givens. Em todos os casos apresente as matrizes fatores correspondentes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método das Rotações de Givens. Basicamente, temos que encontrar o vetor x que satisfaz a equação Ax = z . Para isso, vamos precisar entender o que são as Rotações de Givens e como elas ajudam a simplificar a matriz A em uma forma mais fácil de resolver, chamada de QR. Vamos começar!
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que as Rotações de Givens são usadas para eliminar certos elementos abaixo da diagonal principal da matriz A , transformando-a em uma matriz triangular superior R . Para isso, aplicamos matrizes de rotação G que anulam os elementos desejados.
Vamos começar eliminando o elemento a21 = 2 . Para isso, precisamos encontrar um ângulo theta tal que, ao rotacionar as primeiras duas linhas, o elemento a21 se torne zero.
Passo 3
Calculamos o cosseno c e o seno s do ângulo theta usando as fórmulas:
c = a11raiza11^2 + a21^2 = 1raiz1^2 + 2^2 = 1raiz5 s = a21raiza11^2 + a21^2 = 2raiz5
Agora, vamos eliminar o elemento a31 = 3 da nova matriz. Para isso, usamos outra matriz de rotação G2 que atua nas linhas 1 e 3. Calculamos c e s novamente:
c = raiz5raiz(raiz5)^2 + 3^2 = raiz5raiz5 + 9 = raiz5raiz14 s = 3raiz14
Q^T z = raiz5raiz14 times 10 + (-2raiz5) times (-3) + (-3raiz14) times 4 2raiz5 times 10 + 1raiz5 times (-3) + 0 times 4 3raiz14 times 10 + 0 times (-3) + raiz5raiz14 times 4