Obtenha a solução do sistema de equações algébricas lineares mostrado abaixo de acordo com o método de Rotações de Givens. Em todos os casos apresente as matrizes fatores correspondentes.
A=[lll 1 & 2 & 2 2 & 5 & 7 3 & 6 & 8 ] ; z=[r 10 -3 4 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método das Rotações de Givens. Basicamente, temos que encontrar o vetor x que satisfaz a equação Ax = z . Para isso, vamos precisar entender o que são as Rotações de Givens e como elas ajudam a simplificar a matriz A em uma forma mais fácil de resolver, chamada de QR. Vamos começar!

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que as Rotações de Givens são usadas para eliminar certos elementos abaixo da diagonal principal da matriz A , transformando-a em uma matriz triangular superior R . Para isso, aplicamos matrizes de rotação G que anulam os elementos desejados.
Vamos começar eliminando o elemento a21 = 2 . Para isso, precisamos encontrar um ângulo theta tal que, ao rotacionar as primeiras duas linhas, o elemento a21 se torne zero.

Passo 3

Calculamos o cosseno c e o seno s do ângulo theta usando as fórmulas:
c = a11raiza11^2 + a21^2 = 1raiz1^2 + 2^2 = 1raiz5 s = a21raiza11^2 + a21^2 = 2raiz5

Passo 4

Agora, construímos a matriz de rotação G1 :
G1 = c & s & 0 -s & c & 0 0 & 0 & 1 = 1raiz5 & 2raiz5 & 0 -2raiz5 & 1raiz5 & 0 0 & 0 & 1

Passo 5

Multiplicamos G1 por A para eliminar o elemento a21 :
G1 A = 1raiz5 & 2raiz5 & 0 -2raiz5 & 1raiz5 & 0 0 & 0 & 1 1 & 2 & 2 2 & 5 & 7 3 & 6 & 8 = raiz5 & 12raiz5 & 17raiz5 0 & 1raiz5 & 3raiz5 3 & 6 & 8

Passo 6

Agora, vamos eliminar o elemento a31 = 3 da nova matriz. Para isso, usamos outra matriz de rotação G2 que atua nas linhas 1 e 3. Calculamos c e s novamente:
c = raiz5raiz(raiz5)^2 + 3^2 = raiz5raiz5 + 9 = raiz5raiz14 s = 3raiz14

Passo 7

Construímos a matriz de rotação G2 :
G2 = c & 0 & s 0 & 1 & 0 -s & 0 & c = raiz5raiz14 & 0 & 3raiz14 0 & 1 & 0 -3raiz14 & 0 & raiz5raiz14

Passo 8

Multiplicamos G2 pela matriz resultante anterior:
G2 (G1 A) = raiz5raiz14 & 0 & 3raiz14 0 & 1 & 0 -3raiz14 & 0 & raiz5raiz14 raiz5 & 12raiz5 & 17raiz5 0 & 1raiz5 & 3raiz5 3 & 6 & 8 = raiz14 & 33raiz14 & 61raiz14 0 & 1raiz5 & 3raiz5 0 & 6raiz14 & 19raiz14

Passo 9

Agora que a matriz A foi transformada em uma matriz triangular superior R , podemos escrever:
R = raiz14 & 33raiz14 & 61raiz14 0 & 1raiz5 & 3raiz5 0 & 6raiz14 & 19raiz14
E as matrizes de rotação combinadas formam a matriz Q = G2 G1 :
Q = raiz5raiz14 & 2raiz5 & 3raiz14 -2raiz5 & 1raiz5 & 0 -3raiz14 & 0 & raiz5raiz14

Passo 10

Agora, para resolver Ax = z , usamos A = QR , então:
QRx = z Rightarrow Rx = Q^T z
Primeiro, calculamos Q^T z :
Q^T = raiz5raiz14 & -2raiz5 & -3raiz14 2raiz5 & 1raiz5 & 0 3raiz14 & 0 & raiz5raiz14
Q^T z = raiz5raiz14 times 10 + (-2raiz5) times (-3) + (-3raiz14) times 4 2raiz5 times 10 + 1raiz5 times (-3) + 0 times 4 3raiz14 times 10 + 0 times (-3) + raiz5raiz14 times 4
Calculando cada componente:
Q^T z = 10raiz5raiz14 + 6raiz5 - 12raiz14 20raiz5 - 3raiz5 30raiz14 + 4raiz5raiz14 = 10raiz5 - 12raiz14 + 6raiz5 17raiz5 30 + 4raiz5raiz14

Passo 11

Agora, resolvemos o sistema triangular superior Rx = Q^T z por substituição retroativa.
Simplificando, obtemos os valores de x3 , depois de x2 , e finalmente x1 .

Resposta

Após aplicar as Rotações de Givens e resolver o sistema triangular resultante, a solução do sistema Ax = z é:
x approx 1 2 3

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