Determine a distância entre os seguintes pares de vetores são ortogonais no espaço indicado:
d) x=(c1+i 1 i) e y=(c1-i -3 -1) em C^3;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer nesse exercício é verificar se dois vetores no espaço C^3 são ortogonais e, se sim, determinar a distância entre eles. Para isso, vamos usar conceitos de produto interno, norma de vetores e distância entre vetores. Primeiro, vamos entender o que significa vetores serem ortogonais e como calcular a distância entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é ser ortogonal. Dois vetores são ortogonais se o produto interno entre eles for zero. No espaço C^3 , o produto interno entre dois vetores x e y é dado por:
lang<= x, y rang<= = x1y1 + x2y2 + x3y3
Aqui, xi representa o conjugado complexo de xi .

Passo 3

Vamos calcular o produto interno dos vetores dados:
x = 1+i 1 i , y = 1-i -3 -1
Primeiro, encontramos os conjugados de x :
x = 1 - i 1 -i
Agora, calculamos lang<= x, y rang<= :
lang<= x, y rang<= = (1 - i)(1 - i) + (1)(-3) + (-i)(-1)
= (1 - 2i + i^2) + (-3) + (i)
Sabendo que i^2 = -1 :
= (1 - 2i -1) -3 + i = (-2i) -3 + i = -i -3
Como o produto interno não é zero ( -i -3 neq 0), os vetores não são ortogonais.

Passo 4

Mesmo que os vetores não sejam ortogonais, podemos calcular a distância entre eles. A distância entre dois vetores x e y no espaço C^3 é dada pela norma do vetor diferença:
d(x, y) = | x - y |
Primeiro, vamos calcular x - y :
x - y = (1+i)-(1-i) 1 - (-3) i - (-1) = 2i 4 i +1

Passo 5

Agora, calculamos a norma desse vetor diferença. A norma no espaço C^3 é:
| x - y | = raiz |primeira coordenada|^2 + |segunda coordenada|^2 + |terceira coordenada|^2
Vamos calcular cada módulo:
|2i|^2 = (2)^2 = 4
|4|^2 = 16
|i +1|^2 = (1)^2 + (1)^2 = 2
Somando tudo:
| x - y | = raiz4 + 16 + 2 = raiz22

Resposta

Os vetores x e y não são ortogonais no espaço C^3 . A distância entre eles é raiz22.

Exercícios relacionados