Determine a distância entre os seguintes pares de vetores são ortogonais no espaço indicado:
d) em C^3;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer nesse exercício é verificar se dois vetores no espaço C^3 são ortogonais e, se sim, determinar a distância entre eles. Para isso, vamos usar conceitos de produto interno, norma de vetores e distância entre vetores. Primeiro, vamos entender o que significa vetores serem ortogonais e como calcular a distância entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é ser ortogonal. Dois vetores são ortogonais se o produto interno entre eles for zero. No espaço C^3 , o produto interno entre dois vetores x e y é dado por:
lang<= x, y rang<= = x1y1 + x2y2 + x3y3
Aqui, xi representa o conjugado complexo de xi .
Passo 3
Vamos calcular o produto interno dos vetores dados:
Como o produto interno não é zero (-i -3 neq 0), os vetores não são ortogonais.
Passo 4
Mesmo que os vetores não sejam ortogonais, podemos calcular a distância entre eles. A distância entre dois vetores x e y no espaço C^3 é dada pela norma do vetor diferença:
d(x, y) = | x - y |
Primeiro, vamos calcular x - y :
x - y = (1+i)-(1-i) 1 - (-3) i - (-1) = 2i 4 i +1
Passo 5
Agora, calculamos a norma desse vetor diferença. A norma no espaço C^3 é:
| x - y | = raiz |primeira coordenada|^2 + |segunda coordenada|^2 + |terceira coordenada|^2
Vamos calcular cada módulo:
|2i|^2 = (2)^2 = 4
|4|^2 = 16
|i +1|^2 = (1)^2 + (1)^2 = 2
Somando tudo:
| x - y | = raiz4 + 16 + 2 = raiz22
Resposta
Os vetores x e ynão são ortogonais no espaço C^3 . A distância entre eles é raiz22.