a) Verifique se o sistema tem solução única.
b) Use eliminação de Gauss com pivotamento parcial para determinar a solução.
c) Substitua seus resultados nas equações originais para verificar suas respostas.
Resposta: \operatorname{det}(A) \neq 0, \quad X=\left(\frac{68}{69}, \frac{101}{69}, \frac{21}{23}\right)
e pede:
a) verificar se o sistema tem solução única;
b) usar eliminação de Gauss com pivotamento parcial para determinar a solução;
c) substituir a solução nas equações originais para checar.
Informações relevantes extraídas do enunciado: os coeficientes (ordem x_1,x_2,x_3) formam a matriz dos coeficientes
Nenhuma outra figura ou dado externo foi fornecido. A resolução vai mostrar passo a passo como obter a solução e como verificar (substituir).]
Passo 2
Por que verificar determinante? Um sistema linear quadrado A x=b tem solução única se, e somente se, \det(A)\neq0. Vou calcular \det(A) indiretamente durante a eliminação de Gauss: o produto dos pivôs da matriz triangular superior U obtida pela eliminação é igual a \det(A) vezes (-1)^{s}, onde s é o número de trocas de linhas realizadas (cada troca muda o sinal do determinante). Vou aplicar eliminação de Gauss com pivotamento parcial (escolher, em cada coluna, a linha com o maior valor absoluto como pivô) porque o enunciado pede isso e porque evita divisão por números pequenos e reduz erros aritméticos.
Primeira etapa (coluna 1): escolher pivô com pivotamento parcial entre as linhas 1–3 olhando a coluna 1. Os valores absolutos são |0|,|1|,|5|; o maior é |5| na linha 3. Então troco a linha 1 com a linha 3 (uma troca). Após a troca:
Segunda etapa (coluna 2, submatriz das linhas 2–3): aplicar pivotamento parcial na coluna 2 entre as linhas 2 e 3. Compare \big|\tfrac{12}{5}\big|=2{,}4 com |-3|=3. O maior é 3 (linha 3), então troco linha 2 com linha 3 (segunda troca). Após a troca:
Aplico nova linha 3 = linha 3 − m_{32}×linha 2. Observação: como m_{32} é negativo, isso equivale a adicionar \tfrac{4}{5} vezes a linha 2. Calculando:
Agora tenho uma matriz triangular superior U. Os pivôs foram p_1=5, p_2=-3, p_3=\tfrac{23}{5}. Tivemos duas trocas de linhas, então o sinal total do determinante é (-1)^{2}=+1. O determinante de A é o produto dos pivôs:
Comprovado que a solução encontrada satisfaz todas as equações originais.
Resposta
a) \det(A)=-69\neq0 portanto há solução única.
b) X=\left(\dfrac{68}{69},\;\dfrac{101}{69},\;\dfrac{21}{23}\right).
c) Substituições: para a equação 1 obtém-se 2; para a equação 2 obtém-se 3; para a equação 3 obtém-se 2 — logo a solução verifica o sistema.