Considere um sistema F(10 ; 4 ;-9 ; 9). Dados x=34,457659 \cdot 10^{2} y=0,33447 \cdot 10^{4} z=0,034575 \cdot 10^{3} Usando arredondamento, calcule:
x+y

Passo 1

O enunciado dá um sistema de ponto flutuante F(10;4;-9;9) (base 10, precisão 4 dígitos significativos, intervalo de expoentes irrelevante aqui) e fornece três números em notação científica:
x=34,457659\cdot 10^{2}, y=0,33447\cdot 10^{4} e z=0,034575\cdot 10^{3}.
A pergunta que precisamos responder é: calcular x+y usando arredondamento no sistema fornecido.
Informações relevantes listadas:
  • Precisão: 4 dígitos significativos.
  • Regra de arredondamento adotada: arredondar para o número com 4 dígitos significativos mais próximo; em caso do dígito seguido ser \ge 5 arredonda-se para cima, caso contrário para baixo (arredondamento usual “para o mais próximo”, adotaremos o critério “>=5 sobe”).
  • Devemos normalizar os números para a forma mantissa \times 10^{\text{expoente}} com mantissa entre 1 e 10 antes de truncar/arredondar aos 4 dígitos.

Passo 2

Entender o que significa trabalhar em F(10;4;-9;9) e como arredondar — uma mini-aula prática e necessária.
  • Em ponto flutuante base 10 com precisão 4, representamos números como \pm m\times 10^{e} onde a mantissa m tem exatamente 4 dígitos significativos: m=d_1.d_2d_3d_4 com 1\le d_1\le 9.
  • Antes de armazenar/usar um número, normalizamos (garantimos 1\le m<10) e então arredondamos a mantissa para 4 dígitos significativos.
  • Para somar dois números: normalizamos e arredondamos cada operando; se necessário, alinhamos expoentes (fazemos com que ambos tenham o mesmo expoente deslocando mantissas), somamos as mantissas e finalmente normalizamos e arredondamos o resultado a 4 dígitos.
  • Regra de arredondamento que usaremos: observar o 5º dígito significativo; se for \ge 5 incrementa-se o 4º dígito em 1 (propagando o “vai um” se preciso), caso contrário mantém-se.

Passo 3

Normalizar e arredondar cada operando (vou fazer passo a passo para x e y; z não é necessário para x+y, mas está dado).
  • Para x: partimos de x=34,457659\cdot 10^{2}. Primeiro calcule a potência: 34,457659\cdot 10^{2}=3{,}4457659\cdot 10^{3} (desloquei a vírgula uma casa para a esquerda e aumentei o expoente em 1). Agora a mantissa é 3{,}4457659. Precisamos de 4 dígitos significativos: olhamos os dígitos 3{,}4457\ldots. O 5º dígito significativo é o 6 (pois a sequência de dígitos é 3,4,4,5,7,6,5,9 — atenção: o 4 primeiros já são 3,4,4,5 e o próximo é 7; de fato vamos reavaliar com cuidado). Vou escrever a mantissa ordenada: 3{,}4457659 tem dígitos significativos na ordem 3,4,4,5,7,6,5,9. O 5º dígito (o que decide arredondamento dos 4 primeiros) é 7, que é \ge 5, então arredondamos os 4 primeiros 3{,}445 para cima: 3{,}446. Logo, o x arredondado no sistema é
x \approx 3{,}446\cdot 10^{3}.
  • Para y: partimos de y=0{,}33447\cdot 10^{4}. Calcule a potência: 0{,}33447\cdot 10^{4}=3{,}3447\cdot 10^{3}. A mantissa é 3{,}3447. Precisamos de 4 dígitos: os quatro primeiros são 3,3,4,4 e o 5º (seguinte) é 7 (pois a mantissa original tem o quinto dígito 7). Como 7\ge 5, arredondamos os 4 primeiros para cima: 3{,}345. Assim
y \approx 3{,}345\cdot 10^{3}.
Observação: aqui eu arredondei cada operando antes de somar, que é a prática usual ao simular aritmética em ponto flutuante com arredondamento em cada operação.

Passo 4

Alinhar expoentes e somar as mantissas (passo por passo).
  • Ambos x e y têm agora o mesmo expoente 10^{3}, então a soma é direta sobre as mantissas:
x+y \approx (3{,}446+3{,}345)\cdot 10^{3}.
  • Somando as mantissas com calma:
3{,}446 + 3{,}345 = 6{,}791.
Portanto, antes de qualquer arredondamento final temos
x+y \approx 6{,}791\cdot 10^{3}.

Passo 5

Normalizar e arredondar o resultado final à precisão do sistema.
  • A mantissa 6{,}791 já está normalizada ( 1\le 6{,}791<10) e tem exatamente 4 dígitos significativos ( 6,7,9,1). Não há dígitos extras para decidir arredondamento, ou seja, já está na forma final com 4 dígitos. Logo o resultado final em F(10;4;-9;9) é
x+y = 6{,}791\cdot 10^{3}.

Resposta

6{,}791\cdot 10^{3}

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