Dado o sistema de equações lineares:
\left\{\begin{array}{c} 4 x_{1}+x_{2}+x_{3}=7 \\\\ 4 x_{1}-x_{2}+3 x_{3}=2 \\\\ -x_{1}+5 x_{2}+3 x_{3}=3 \end{array}\right.
(i) Reordene as equações de modo que o critério de Sassenfeld seja satisfeito.
(ii) Com o sistema reordenado so item (i), faça três iterações do método de Gauss-Seidel para o sistema obtida.
(iii) Comente os erros cometidos do item (ii).

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações são dadas.
  • Nos dão o sistema de equações lineares:
\left\{\begin{array}{r} 4x_{1}+x_{2}+x_{3}=7,\\[4pt] 4x_{1}-x_{2}+3x_{3}=2,\\[4pt] -x_{1}+5x_{2}+3x_{3}=3. \end{array}\right.
  • Perguntas:
    1. Reordenar as equações de modo que o critério de Sassenfeld seja satisfeito.
    2. Com o sistema reordenado no item (i), realizar três iterações do método de Gauss–Seidel.
    3. Comentar os erros cometidos no item (ii).
  • Informações úteis que já temos no enunciado: os coeficientes das três equações e os termos independentes (7,2,3).
  • Observação: o enunciado não dá um chute inicial para as iterações; portanto vou assumir o chute padrão \,x^{(0)}=(0,0,0)\, (isso será claramente declarado quando for necessário).]

Passo 2

O critério de Sassenfeld — explicação didática e como usá-lo aqui.
  • Ideia do critério de Sassenfeld: é uma forma prática de verificar se o método de Gauss–Seidel vai convergir para qualquer chute inicial. Para uma matriz A=(a_{ij}) e uma ordem das equações, definimos números \beta_i recursivamente por
\beta_i=\frac{1}{|a_{ii}|}\left(\sum_{j=1}^{i-1}|a_{ij}|\beta_j+\sum_{j=i+1}^{n}|a_{ij}|\right).
Se todas as \beta_i<1, então o método de Gauss–Seidel converge para qualquer chute inicial.
  • O que cada símbolo significa:
    • a_{ii} é o coeficiente na linha i da variável x_i depois de escolher uma ordem das linhas.
    • No somatório com \beta_j (para j<i) usamos os \beta_j já calculados; para j>i usamos o valor absoluto dos coeficientes (pois ainda não temos \beta_j).
  • A ordem das equações importa porque ela muda quais coeficientes aparecem como a_{ii} e muda as relações na fórmula acima.
Agora vamos testar ordens possíveis e calcular as \beta. Uma ordem que funciona (mostrarei os cálculos) é: primeira a equação original 1, depois a equação original 3, depois a equação original 2. Vou numerar as equações originais como
(1)\;4x_1+x_2+x_3=7,\quad (2)\;4x_1-x_2+3x_3=2,\quad (3)\;-x_1+5x_2+3x_3=3.
Teste da ordem (1),(3),(2).
  • Para i=1 (linha original 1 colocada em primeiro): a_{11}=4. Então
\beta_1=\frac{1}{|4|}\big(|a_{12}|+|a_{13}|\big)=\frac{1}{4}\big(1+1\big)=\frac{2}{4}=0,5.
  • Para i=2 (linha original 3 colocada em segundo): agora a_{22} é o coeficiente da variável x_2 na equação original 3, isto é a_{22}=5. Os coeficientes fora da diagonal nesta linha são a_{21}=-1 (coluna 1) e a_{23}=3 (coluna 3). Aplicando a fórmula:
\beta_2=\frac{1}{|5|}\big(|a_{21}|\beta_1 + |a_{23}|\big)=\frac{1}{5}\big(1\cdot 0,5 + 3\big)=\frac{3,5}{5}=0,7.
  • Para i=3 (linha original 2 colocada em terceiro): aqui a_{33} é o coeficiente da variável x_3 na equação original 2, logo a_{33}=3. Os coeficientes fora da diagonal nesta linha são a_{31}=4 e a_{32}=-1. Assim
\beta_3=\frac{1}{|3|}\big(|a_{31}|\beta_1 + |a_{32}|\beta_2\big)=\frac{1}{3}\big(4\cdot 0,5 + 1\cdot 0,7\big)=\frac{2+0,7}{3}=\frac{2,7}{3}=0,9.
  • Conclusão: com a ordem (1),(3),(2) obtemos \beta_1=0,5,\\ \beta_2=0,7,\\ \beta_3=0,9, todas menores que 1. Portanto o critério de Sassenfeld é satisfeito nessa ordem e o Gauss–Seidel converge.

Passo 3

Escrever explicitamente o sistema reordenado (resultado do item (i)).
  • Colocando as equações na ordem (1),(3),(2) obtemos o sistema
\left\{\begin{array}{r} 4x_{1}+x_{2}+x_{3}=7,\\[4pt] - x_{1}+5x_{2}+3x_{3}=3,\\[4pt] 4x_{1}-x_{2}+3x_{3}=2. \end{array}\right.
(isto é: primeira a equação original 1, segunda a original 3, terceira a original 2.)]

Passo 4

Preparar as fórmulas de iteração do método de Gauss–Seidel (aula rápida).
  • Gauss–Seidel atualiza as componentes de x sequencialmente, usando sempre os valores mais recentes já calculados na iteração atual. Para cada equação isolamos a variável que está no pivô (coeficiente diagonal) e expressamos a atualização.
  • Da primeira equação isolamos x_1:
4x_1 = 7 - x_2 - x_3 \quad\Rightarrow\quad x_1=\frac{1}{4}\big(7 - x_2 - x_3\big).
  • Da segunda equação isolamos x_2:
- x_1 +5x_2 +3x_3 =3 \quad\Rightarrow\quad 5x_2 = 3 + x_1 - 3x_3 \quad\Rightarrow\quad x_2=\frac{1}{5}\big(3 + x_1 -3x_3\big).
  • Da terceira equação isolamos x_3:
4x_1 - x_2 +3x_3 =2 \quad\Rightarrow\quad 3x_3 = 2 -4x_1 + x_2 \quad\Rightarrow\quad x_3=\frac{1}{3}\big(2 -4x_1 + x_2\big).
  • Regra prática: na iteração k+1 usamos as fórmulas acima, substituindo em cada RHS os valores mais recentes: para calcular x_1^{(k+1)} usamos x_2^{(k)} e x_3^{(k)}; para x_2^{(k+1)} usamos x_1^{(k+1)} (já atualizado) e x_3^{(k)}; etc.

Passo 5

Escolher o chute inicial e realizar a iteração 1 (detalhadamente, passo a passo).
  • Assumo o chute inicial \,x^{(0)}=(0,0,0)\, (padrão quando nada é dado).
  • Iteração 1 (k=0 → k=1):
    • Calcular x_1^{(1)}:
    x_1^{(1)}=\frac{1}{4}\big(7 - x_2^{(0)} - x_3^{(0)}\big)=\frac{1}{4}(7-0-0)=\frac{7}{4}=1{,}75.
    • Calcular x_2^{(1)} usando x_1^{(1)} e x_3^{(0)}:
    x_2^{(1)}=\frac{1}{5}\big(3 + x_1^{(1)} -3x_3^{(0)}\big)=\frac{1}{5}(3+1{,}75-0)=\frac{4{,}75}{5}=0{,}95.
    • Calcular x_3^{(1)} usando x_1^{(1)} e x_2^{(1)}:
    x_3^{(1)}=\frac{1}{3}\big(2 -4x_1^{(1)} + x_2^{(1)}\big)=\frac{1}{3}(2 -4\cdot1{,}75 +0{,}95)=\frac{-4{,}05}{3}=-1{,}35.
  • Vetor após a primeira iteração:
x^{(1)}=\big(1{,}75,\;0{,}95,\;-1{,}35\big).

Passo 6

Iteração 2 (detalhada).
  • Iteração 2 (k=1 → k=2):
    • x_1^{(2)}=\dfrac{1}{4}\big(7 - x_2^{(1)} - x_3^{(1)}\big)=\dfrac{1}{4}\big(7 -0{,}95 -(-1{,}35)\big)=\dfrac{7{,}4}{4}=1{,}85.
    • x_2^{(2)}=\dfrac{1}{5}\big(3 + x_1^{(2)} -3x_3^{(1)}\big)=\dfrac{1}{5}\big(3 +1{,}85 -3(-1{,}35)\big)=\dfrac{8{,}9}{5}=1{,}78.
    • x_3^{(2)}=\dfrac{1}{3}\big(2 -4x_1^{(2)} + x_2^{(2)}\big)=\dfrac{1}{3}\big(2 -4\cdot1{,}85 +1{,}78\big)=\dfrac{-3{,}62}{3}\approx -1{,}206666\ldots
  • Vetor após a segunda iteração:
x^{(2)}\approx\big(1{,}85,\;1{,}78,\;-1{,}206666\ldots\big).

Passo 7

Iteração 3 (detalhada).
  • Iteração 3 (k=2 → k=3):
    • x_1^{(3)}=\dfrac{1}{4}\big(7 - x_2^{(2)} - x_3^{(2)}\big)=\dfrac{1}{4}\big(7 -1{,}78 -(-1{,}206666\ldots)\big)=\dfrac{6{,}426666\ldots}{4}\approx 1{,}606666\ldots
    • x_2^{(3)}=\dfrac{1}{5}\big(3 + x_1^{(3)} -3x_3^{(2)}\big)=\dfrac{1}{5}\big(3 +1{,}606666\ldots -3(-1{,}206666\ldots)\big)\approx 1{,}645333\ldots
    • x_3^{(3)}=\dfrac{1}{3}\big(2 -4x_1^{(3)} + x_2^{(3)}\big)\approx \dfrac{2 -4(1{,}606666\ldots) +1{,}645333\ldots}{3}\approx -0{,}927111\ldots
  • Vetor após a terceira iteração (arredondando a 6 casas decimais):
x^{(3)}\approx\big(1{,}606667,\;1{,}645333,\;-0{,}927111\big).

Passo 8

Comentários didáticos sobre os erros cometidos no item (ii) e o que cuidar (resposta do item (iii)).
  • Erro 1 — falta de declaração do chute inicial: o enunciado não deu x^{(0)}. Eu assumi x^{(0)}=(0,0,0). Sempre declare qual chute escolheu, porque resultados numéricos dependem disso (a convergência aqui é garantida pelo critério de Sassenfeld, então qualquer chute funciona, mas é preciso dizer qual foi).
  • Erro 2 — arredondamento numérico: ao calcular manualmente vamos arredondando os valores a cada passo. Isso introduz erro de truncamento. Para provas, faça contas com frações quando possível ou mantenha mais casas decimais e só arredonde ao final.
  • Erro 3 — não checar critério de parada: fazer apenas 3 iterações é um número arbitrário. É melhor definir um critério (por ex. parar quando \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty<\varepsilon ou quando o resíduo \|Ax^{(k)}-b\| fica pequeno). No enunciado pediram exatamente 3 iterações, mas em prática isso não garante que já estejamos próximos da solução com tolerância desejada.
  • Erro 4 — aplicar Gauss–Seidel sem verificar convergência: antes de iterar é importante checar um critério suficiente (como Sassenfeld, que fizemos) ou dominância diagonal; sem isso o método pode divergir.
  • Erro 5 — cuidado com sinais e isolamento: é fácil errar o sinal ao isolar a variável (por ex. ao passar termos para o outro lado). Sempre reescrever explicitamente a fórmula de atualização e conferir.
  • Conclusão prática: com a ordem escolhida e Sassenfeld satisfeito, o Gauss–Seidel converge; os possíveis “erros” no item (ii) são mais de procedimento/numéricos do que conceituais — declare chute, controle de arredondamento e critério de parada.

Resposta

(i) Sistema reordenado: \left\{\begin{array}{r}4x_{1}+x_{2}+x_{3}=7,\\[4pt]-x_{1}+5x_{2}+3x_{3}=3,\\[4pt]4x_{1}-x_{2}+3x_{3}=2.\end{array}\right.\n
(ii) Três iterações de Gauss–Seidel com x^{(0)}=(0,0,0):\n x^{(1)}=(1{,}75,\;0{,}95,\;-1{,}35),\n x^{(2)}\approx(1{,}85,\;1{,}78,\;-1{,}206666\ldots),\n x^{(3)}\approx(1{,}606667,\;1{,}645333,\;-0{,}927111).\n
(iii) Comentários sobre erros: foi necessário assumir o chute inicial ( x^{(0)}); há erros de arredondamento ao truncar valores a cada passo; não há critério de parada (3 iterações é arbitrário); é essencial verificar Sassenfeld (feito) para garantir convergência e tomar cuidado com sinais ao isolar variáveis.]

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