(i) Reordene as equações de modo que o critério de Sassenfeld seja satisfeito.
(ii) Com o sistema reordenado so item (i), faça três iterações do método de Gauss-Seidel para o sistema obtida.
(iii) Comente os erros cometidos do item (ii).
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações são dadas.
Reordenar as equações de modo que o critério de Sassenfeld seja satisfeito.
Com o sistema reordenado no item (i), realizar três iterações do método de Gauss–Seidel.
Comentar os erros cometidos no item (ii).
Informações úteis que já temos no enunciado: os coeficientes das três equações e os termos independentes (7,2,3).
Observação: o enunciado não dá um chute inicial para as iterações; portanto vou assumir o chute padrão \,x^{(0)}=(0,0,0)\, (isso será claramente declarado quando for necessário).]
Passo 2
O critério de Sassenfeld — explicação didática e como usá-lo aqui.
Ideia do critério de Sassenfeld: é uma forma prática de verificar se o método de Gauss–Seidel vai convergir para qualquer chute inicial. Para uma matriz A=(a_{ij}) e uma ordem das equações, definimos números \beta_i recursivamente por
Se todas as \beta_i<1, então o método de Gauss–Seidel converge para qualquer chute inicial.
O que cada símbolo significa:
a_{ii} é o coeficiente na linha i da variável x_i depois de escolher uma ordem das linhas.
No somatório com \beta_j (para j<i) usamos os \beta_j já calculados; para j>i usamos o valor absoluto dos coeficientes (pois ainda não temos \beta_j).
A ordem das equações importa porque ela muda quais coeficientes aparecem como a_{ii} e muda as relações na fórmula acima.
Agora vamos testar ordens possíveis e calcular as \beta. Uma ordem que funciona (mostrarei os cálculos) é: primeira a equação original 1, depois a equação original 3, depois a equação original 2. Vou numerar as equações originais como
Para i=2 (linha original 3 colocada em segundo): agora a_{22} é o coeficiente da variável x_2 na equação original 3, isto é a_{22}=5. Os coeficientes fora da diagonal nesta linha são a_{21}=-1 (coluna 1) e a_{23}=3 (coluna 3). Aplicando a fórmula:
Para i=3 (linha original 2 colocada em terceiro): aqui a_{33} é o coeficiente da variável x_3 na equação original 2, logo a_{33}=3. Os coeficientes fora da diagonal nesta linha são a_{31}=4 e a_{32}=-1. Assim
Conclusão: com a ordem (1),(3),(2) obtemos \beta_1=0,5,\\ \beta_2=0,7,\\ \beta_3=0,9, todas menores que 1. Portanto o critério de Sassenfeld é satisfeito nessa ordem e o Gauss–Seidel converge.
Passo 3
Escrever explicitamente o sistema reordenado (resultado do item (i)).
Colocando as equações na ordem (1),(3),(2) obtemos o sistema
(isto é: primeira a equação original 1, segunda a original 3, terceira a original 2.)]
Passo 4
Preparar as fórmulas de iteração do método de Gauss–Seidel (aula rápida).
Gauss–Seidel atualiza as componentes de x sequencialmente, usando sempre os valores mais recentes já calculados na iteração atual. Para cada equação isolamos a variável que está no pivô (coeficiente diagonal) e expressamos a atualização.
Regra prática: na iteração k+1 usamos as fórmulas acima, substituindo em cada RHS os valores mais recentes: para calcular x_1^{(k+1)} usamos x_2^{(k)} e x_3^{(k)}; para x_2^{(k+1)} usamos x_1^{(k+1)} (já atualizado) e x_3^{(k)}; etc.
Passo 5
Escolher o chute inicial e realizar a iteração 1 (detalhadamente, passo a passo).
Assumo o chute inicial \,x^{(0)}=(0,0,0)\, (padrão quando nada é dado).
Comentários didáticos sobre os erros cometidos no item (ii) e o que cuidar (resposta do item (iii)).
Erro 1 — falta de declaração do chute inicial: o enunciado não deu x^{(0)}. Eu assumi x^{(0)}=(0,0,0). Sempre declare qual chute escolheu, porque resultados numéricos dependem disso (a convergência aqui é garantida pelo critério de Sassenfeld, então qualquer chute funciona, mas é preciso dizer qual foi).
Erro 2 — arredondamento numérico: ao calcular manualmente vamos arredondando os valores a cada passo. Isso introduz erro de truncamento. Para provas, faça contas com frações quando possível ou mantenha mais casas decimais e só arredonde ao final.
Erro 3 — não checar critério de parada: fazer apenas 3 iterações é um número arbitrário. É melhor definir um critério (por ex. parar quando \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty<\varepsilon ou quando o resíduo \|Ax^{(k)}-b\| fica pequeno). No enunciado pediram exatamente 3 iterações, mas em prática isso não garante que já estejamos próximos da solução com tolerância desejada.
Erro 4 — aplicar Gauss–Seidel sem verificar convergência: antes de iterar é importante checar um critério suficiente (como Sassenfeld, que fizemos) ou dominância diagonal; sem isso o método pode divergir.
Erro 5 — cuidado com sinais e isolamento: é fácil errar o sinal ao isolar a variável (por ex. ao passar termos para o outro lado). Sempre reescrever explicitamente a fórmula de atualização e conferir.
Conclusão prática: com a ordem escolhida e Sassenfeld satisfeito, o Gauss–Seidel converge; os possíveis “erros” no item (ii) são mais de procedimento/numéricos do que conceituais — declare chute, controle de arredondamento e critério de parada.
Resposta
(i) Sistema reordenado: \left\{\begin{array}{r}4x_{1}+x_{2}+x_{3}=7,\\[4pt]-x_{1}+5x_{2}+3x_{3}=3,\\[4pt]4x_{1}-x_{2}+3x_{3}=2.\end{array}\right.\n
(ii) Três iterações de Gauss–Seidel com x^{(0)}=(0,0,0):\nx^{(1)}=(1{,}75,\;0{,}95,\;-1{,}35),\nx^{(2)}\approx(1{,}85,\;1{,}78,\;-1{,}206666\ldots),\nx^{(3)}\approx(1{,}606667,\;1{,}645333,\;-0{,}927111).\n
(iii) Comentários sobre erros: foi necessário assumir o chute inicial (x^{(0)}); há erros de arredondamento ao truncar valores a cada passo; não há critério de parada (3 iterações é arbitrário); é essencial verificar Sassenfeld (feito) para garantir convergência e tomar cuidado com sinais ao isolar variáveis.]