Calule a fatoracipio LU da matriz A:
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & -1 \\\\ 3 & 2 & 0 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede calcular a fatoração LU da matriz A. Ou seja, encontrar matrizes L (triangular inferior) e U (triangular superior) tal que
A = L\,U.
A matriz dada é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & -1 \\\\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
Informações relevantes: todas as entradas de A estão explicitadas acima; não foi pedido pivoteamento (ou seja, vamos tentar fatorar sem permutações).

Passo 2

O que vamos usar e por quê (a ideia por trás da fatoração LU, explicada devagarinho).
Quando aplicamos eliminação de Gauss para zerar elementos abaixo dos pivôs, cada operação de eliminar uma linha com um múltiplo da linha-pivô pode ser registrada como um multiplicador. Esses multiplicadores formam as entradas abaixo da diagonal de L (no método de Doolittle, adotado aqui, colocamos 1s na diagonal de L). O que sobra nas linhas superiores após as eliminações é a matriz U (triangular superior).
Formalmente, para o primeiro pivô usamos multiplicadores
m_{i1}=\frac{a_{i1}}{a_{11}}\quad\text{para }i=2,3,
e subtraímos m_{i1} vezes a linha 1 da linha i. Esses m_{i1} serão l_{i1}. Depois, com o segundo pivô (o elemento já atualizado a_{22}^{(1)}), definimos
m_{i2}=\frac{a_{i2}^{(1)}}{a_{22}^{(1)}},\quad i=3,
e assim por diante. Vou aplicar isso passo a passo e explicar cada conta.

Passo 3

Primeira etapa da eliminação: usar o pivô a_{11}=1 para zerar as entradas a_{21} e a_{31}.
Calculamos os multiplicadores:
m_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{2}{1}=2,
m_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=\frac{3}{1}=3.
Agora eliminamos:
  • Nova linha 2 = linha 2 − m_{21}·linha 1:
\begin{array}{l} a_{22}^{(1)} = a_{22} - m_{21}a_{12} = 1 - 2\cdot 1 = -1,\\[4pt] a_{23}^{(1)} = a_{23} - m_{21}a_{13} = -1 - 2\cdot 1 = -3. \end{array}
  • Nova linha 3 = linha 3 − m_{31}·linha 1:
\begin{array}{l} a_{32}^{(1)} = a_{32} - m_{31}a_{12} = 2 - 3\cdot 1 = -1,\\[4pt] a_{33}^{(1)} = a_{33} - m_{31}a_{13} = 0 - 3\cdot 1 = -3. \end{array}
Após essa primeira fase, a matriz transformada (apenas mostrando partes relevantes) fica:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & -1 & -3 \\\\ 0 & -1 & -3 \end{pmatrix}.
E já sabemos que l_{21}=m_{21}=2 e l_{31}=m_{31}=3.]

Passo 4

Segunda etapa da eliminação: usar o pivô da segunda linha a_{22}^{(1)}=-1 para zerar a entrada abaixo dele a_{32}^{(1)}=-1.
Calculamos o multiplicador:
m_{32}=\frac{a_{32}^{(1)}}{a_{22}^{(1)}}=\frac{-1}{-1}=1.
Eliminamos:
  • Nova linha 3 (segunda fase) = linha 3 (após primeira fase) − m_{32}·linha 2 (após primeira fase):
a_{33}^{(2)} = a_{33}^{(1)} - m_{32}a_{23}^{(1)} = -3 - 1\cdot(-3) = -3 + 3 = 0.
Após essa operação, a matriz U (a parte superior) já aparece em forma triangular:
U=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & -1 & -3 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
E o multiplicador m_{32}=1 corresponde a l_{32}=1.

Passo 5

Construindo a matriz L a partir dos multiplicadores registrados. No método de Doolittle, a diagonal principal de L é composta por 1s, e as entradas abaixo da diagonal são os multiplicadores que usamos nas eliminações:
l_{21}=2,\qquad l_{31}=3,\qquad l_{32}=1.
Portanto
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 6

Verificação rápida (só para ficar tranquilo): multiplicar L por U deve retornar A.
Calculemos mentalmente:
  • Primeira linha de L U = primeira linha de U = (1,1,1).
  • Segunda linha de L U = 2\cdotprimeira linha de U + 1\cdotsegunda linha de U = 2(1,1,1)+(0,-1,-3)=(2,1,-1).
  • Terceira linha de L U = 3\cdotprimeira linha de U + 1\cdotsegunda linha de U + 1\cdotterceira linha de U =3(1,1,1)+(0,-1,-3)+(0,0,0)=(3,2,0).
    Isso coincide com as linhas de A, logo A=L U.
Observação importante (didática): o último pivô de U é zero ( u_{33}=0), então \det(A)=1\cdot(-1)\cdot 0=0 e A é singular. Ainda assim a fatoração A=L U sem permutações existe e foi obtida pelos multiplicadores acima.

Resposta

L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & -1 & -3 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

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