Informações relevantes: todas as entradas de A estão explicitadas acima; não foi pedido pivoteamento (ou seja, vamos tentar fatorar sem permutações).
Passo 2
O que vamos usar e por quê (a ideia por trás da fatoração LU, explicada devagarinho).
Quando aplicamos eliminação de Gauss para zerar elementos abaixo dos pivôs, cada operação de eliminar uma linha com um múltiplo da linha-pivô pode ser registrada como um multiplicador. Esses multiplicadores formam as entradas abaixo da diagonal de L (no método de Doolittle, adotado aqui, colocamos 1s na diagonal de L). O que sobra nas linhas superiores após as eliminações é a matriz U (triangular superior).
Formalmente, para o primeiro pivô usamos multiplicadores
e subtraímos m_{i1} vezes a linha 1 da linha i. Esses m_{i1} serão l_{i1}. Depois, com o segundo pivô (o elemento já atualizado a_{22}^{(1)}), definimos
E o multiplicador m_{32}=1 corresponde a l_{32}=1.
Passo 5
Construindo a matriz L a partir dos multiplicadores registrados. No método de Doolittle, a diagonal principal de L é composta por 1s, e as entradas abaixo da diagonal são os multiplicadores que usamos nas eliminações:
Verificação rápida (só para ficar tranquilo): multiplicar L por U deve retornar A.
Calculemos mentalmente:
Primeira linha de L U = primeira linha de U = (1,1,1).
Segunda linha de L U = 2\cdotprimeira linha de U+1\cdotsegunda linha de U=2(1,1,1)+(0,-1,-3)=(2,1,-1).
Terceira linha de L U = 3\cdotprimeira linha de U+1\cdotsegunda linha de U+1\cdotterceira linha de U=3(1,1,1)+(0,-1,-3)+(0,0,0)=(3,2,0).
Isso coincide com as linhas de A, logo A=L U.
Observação importante (didática): o último pivô de U é zero (u_{33}=0), então \det(A)=1\cdot(-1)\cdot 0=0 e A é singular. Ainda assim a fatoração A=L U sem permutações existe e foi obtida pelos multiplicadores acima.